Segi empat

Segi empat cembung

Dalam segi empat cembung, semua sudut interior kurang dari 180° dan kedua diagonal terletak di dalam segiempat.

• Segiempat tidak beraturan: tidak ada sisi yang sejajar.
• Trapesium: setidaknya satu pasang sisi yang berhadapan sejajar. Trapesium mencakup jajaran genjang.
• Trapesium sama kaki: sepasang sisi yang berlawanan adalah paralel dan sudut alasnya sama. Definisi alternatif adalah segi empat dengan sumbu simetri membagi dua sisi yang berlawanan, atau trapesium dengan diagonal-diagonal yang panjangnya sama.
• Jajar genjang: segi empat dengan dua pasang sisi sejajar. Syarat yang setara adalah bahwa sisi yang berhadapan memiliki panjang yang sama; bahwa sudut yang berhadapan adalah sama; atau bahwa diagonal saling membagi dua. Jajar genjang mencakup belah ketupat (mencakup persegi) dan rhomboid (mencakup persegi panjang yang bukan persegi). Dengan kata lain, jajar genjang mencakup semua belah ketupat dan semua rhomboid, dan dengan demikian juga mencakup semua persegi panjang.
• Belah ketupat: keempat sisinya memiliki panjang yang sama. Syarat yang setara adalah bahwa diagonal-diagonalnya saling memotong tegak lurus dan membagi menjadi dua bagian.
• Rhomboid: jajar genjang di mana sisi yang berdekatan memiliki panjang yang tidak sama dan beberapa sudut tumpul (ekuivalen, tidak memiliki sudut siku-siku). Tidak semua referensi setuju, beberapa mendefinisikan rhomboid sebagai jajar genjang yang bukan belah ketupat.^[1]
• Persegi panjang: keempat sudut adalah sudut siku-siku. Syarat yang setara adalah bahwa diagonal saling membagi dua dan panjangnya sama. Persegi panjang mencakup persegi dan oblong.
• Persegi atau bujur sangkar (segi empat teratur): keempat sisinya memiliki panjang yang sama (ekuilateral), dan keempat sudutnya adalah sudut siku-siku. Syarat yang setara adalah bahwa sisi yang berlawanan adalah sejajar (persegi termasuk jajar genjang), bahwa diagonal saling membagi dua, dan memiliki panjang yang sama. Segi empat adalah persegi jika dan hanya jika itu adalah belah ketupat dan persegi panjang (empat sisi yang sama dan empat sudut yang sama).
• Oblong: istilah yang kadang-kadang digunakan untuk menunjukkan sebuah persegi panjang yang memiliki sisi yang berdekatan yang tidak sama (mis. persegi panjang yang bukan persegi).^[2]
• Layang-layang: dua pasang sisi yang berdekatan memiliki panjang yang sama. Ini menyiratkan bahwa satu diagonal membagi layang-layang menjadi dua segitiga kongruen, sehingga sudut antara dua pasang sisi yang sama memiliki ukuran yang sama. Ini juga menyiratkan bahwa diagonal saling memotong tegak lurus. Layang-layang mencakup belah ketupat.

Rumus trigonometri

Terdapat beberapa rumus umum untuk mencari luas ${\displaystyle L}$ dari suatu segiempat konveks sembarang ${\displaystyle ABCD}$ with sides a = AB, b = BC, c = CD and d = DA. Luas dapat dinyatakan dalam istilah trigonometri sebagai

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}pq\cdot \sin \theta ,}$

di mana panjang diagonal adalah p dan q dan sudut di antara mereka adalah θ.^[5] Dalam kasus segiempat ortodiagonal (mis. Belah ketupat, bujur sangkar, dan layang-layang), rumus ini direduksi menjadi ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq}$ karena θ adalah 90 °.

Luas ini juga dapat dinyatakan dalam istilah bimedian sebagai^[6]

${\displaystyle L=mn\cdot \sin \varphi ,}$

di mana panjang bimedian adalah m dan n dan sudut di antara mereka adalah φ.

Formula Bretschneider^[7] mengekspresikan area dalam hal sisi dan dua sudut yang berlawanan:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {A+C}{2}}\right)\right]}}\end{aligned}}}$

di mana sisi dalam urutan adalah a , b , c , d, di mana s adalah setengah keliling, dan A dan C adalah dua (pada kenyataannya, dua) sudut yang berlawanan. Ini mengurangi rumus Brahmagupta untuk bidang segi empat tali busur ketika A + C = 180 ° .

Rumus area lain dalam hal sisi dan sudut, dengan sudut C berada di antara sisi b dan c, dan A berada di antara sisi a dan d, adalah

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}ad\cdot \sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\cdot \sin {C}.}$

Dalam kasus segiempat tali busur, rumus terakhir menjadi ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}$

Dalam jajar genjang, di mana kedua pasang sisi dan sudut yang berlawanan sama, rumus ini berkurang menjadi ${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

Sebagai alternatif, kita dapat menulis area dengan sisi dan sudut persimpangan θ diagonal, sepanjang sudut ini bukan 90°:^[8]

${\displaystyle L={\frac {|\tan \theta |}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

Dalam kasus jajar genjang, rumus terakhir menjadi ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\tan \theta |\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

Formula area lain termasuk sisi a , b , c , d adalah^[6]

${\displaystyle L={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}\sin {\varphi }}$

di mana x adalah jarak antara titik tengah diagonal dan φ adalah sudut antara bimedian .

Rumus luas trigonometri terakhir termasuk sisi a , b , c , d dan sudut α antara a dan b adalah: ^{[butuh rujukan]}

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}ab\cdot \sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}},}$

yang juga dapat digunakan untuk bidang segi empat cekung (memiliki bagian cekung berlawanan dengan sudut α ) hanya mengubah tanda pertama + ke -.

Rumus non-trigonometri

Dua rumus berikut ini menyatakan bidang dalam hal sisi a , b , c , d, semikeliling s, dan diagonal p , q:

${\displaystyle L={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$^[9]

${\displaystyle L={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.}$^[10]

Yang pertama direduksi menjadi rumus Brahmagupta dalam kasus segi empat tali busur, sejak saat itu pq = ac + bd.

Daerah tersebut juga dapat dinyatakan dalam istilah bimedian m , n dan diagonal p , q:

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},}$^[11]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}$^{[12]: Thm. 7}

Faktanya, tiga dari empat nilai m , n , p , dan q cukup untuk penentuan area, karena pada segi empat mana pun keempat nilai tersebut dihubungkan oleh ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$^{[13]: p. 126} The corresponding expressions are:^[14]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

jika panjang dua bimedian dan satu diagonal diberikan, dan^[14]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}$

jika panjang dua diagonal dan satu bimedian diberikan.

Rumus Vektor