Segiempat garis singgung

Luas tanpa menggunakan trigonometri

Luas dari segiempat garis singgung dirumuskan sebagai $${\displaystyle r\cdot s,}$$ dengan ${\displaystyle s}$ adalah semiperimeter dan ${\displaystyle r}$ adalah jari-jari lingkaran dalam. Rumus lainnya untuk luas dari segiempat adalah^[2] $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}},}$$ dengan ${\displaystyle p}$ dan ${\displaystyle q}$ adalah garis diagonal, serta ${\displaystyle a,b,c,d}$ adalah sisi-sisi dari segiempat garis singgung.

Luas dari segiempat garis singgung juga dapat dinyatakan hanya dengan diketahui keempat panjang garis singgung ${\displaystyle e,f,g,h}$^[3] $${\displaystyle {\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}$$

Luas dengan menggunakan trigonometri

Luas dari segiempat garis singgung dapat diketahui dengan menggunakan panjang sisi ${\displaystyle a,b,c,d}$ beserta dua buah sudut hadapan^[4] $${\displaystyle {\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$$

Untuk diketahui panjang sisinya, luasnya akan maksimum ketika segiempat adalah siklik dan bicentric. Oleh karena itu, luas dari segiempat garis singgung adalah ${\textstyle {\sqrt {abcd}}}$ sebab sudut hadapannya adalah suplementer. Rumus ini dapat dibuktikan dengan cara lain menggunakan kalkulus.^[5]

Rumus lain untuk luas dari segiempat garis singgung ${\displaystyle ABCD}$ yang melibatkan dua sudut hadapan adalah^[6] $${\displaystyle \left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin {\frac {A+C}{2}}}$$ dengan ${\displaystyle I}$ adalah pusat lingkaran dalam.

Terlebih lagi, luasnya dapat dinyatakan menggunakan dua sisi yang berdampingan dan dua sudut hadapan sebagai^[7] $${\displaystyle ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$$