Matriks simetrik

Sifat dasar

• Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik

• Hal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian: untuk sebarang matriks ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$, matriks ${\displaystyle AB}$ bersifat simetrik jika dan hanya jika ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ saling komutatif, yakni, jika ${\displaystyle AB=BA}$.

• Untuk bilangan bulat ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle A^{n}}$ matriks simetrik jika ${\displaystyle A}$ matriks simetrik.

• Jika ${\displaystyle A^{-1}}$ ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika ${\displaystyle A}$ simetrik.

Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring

Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$ menyatakan ruang matriks ukuran ${\displaystyle n\times n}$. Jika ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ adalah ruang matriks simetrik ukuran ${\displaystyle n\times n}$ dan ${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran ${\displaystyle n\times n}$, maka ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}}$ dan ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}}$; yakni,

${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}$

dengan ${\displaystyle \oplus }$ adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal ${\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}}$. Matriks ${\displaystyle X}$ dapat dinyatakan sebagai

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)}$.

Perhatikan bahwa ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$ dan ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$. Hal ini benar untuk semua matriks persegi ${\displaystyle X}$ dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$ skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama). Mirip dengan itu, matriks simetrik-miring ditentukan dari ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$ skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik

Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika ${\displaystyle X}$ adalah matriks simetrik, begitu pula matriks ${\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }}$ untuk sebarang matriks ${\displaystyle A}$.