Matriks segitiga

Dalam aljabar linear, matriks segitiga adalah salah satu bentuk khusus dari matriks persegi. Sebuah matriks persegi dikatakan matriks segitiga bawah jika semua elemen di atas diagonal utama bernilai nol. Serupa dengan itu, matriks persegi dikatakan matriks segitiga atas jika semua elemen di bawah diagonal utama bernilai nol.

Karena persamaan matriks dalam bentuk matriks segitiga lebih mudah untuk diselesaikan, matriks ini memainkan peran penting dalam analisis numerik. Dengan menggunakan algoritma dekomposisi LU, matriks terbalikkan dapat dituliskan sebagai perkalian dari sebuah matriks segitiga bawah $L$ dan sebuah matriks segitiga atas $U$ , jika dan hanya jika semua minor utamanya bernilai tidak nol.

Definisi

Matriks yang memiliki bentuk

L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}

disebut dengan matriks segitiga bawah, dan serupa dengan itu, matriks yang memiliki bentuk

U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}

Disebut dengan matriks segitiga atas. Matriks segitiga bawah umumnya dinyatakan oleh variabel $L$ (dari bahasa Inggris Lower), dan matriks segitiga atas umumnya dinyatakan oleh variabel $U$ (dari bahasa Inggris Upper). Matriks yang merupakan matriks segitiga bawah sekaligus matriks segitiga atas adalah matriks diagonal. Matriks yang serupa dengan matriks segitiga dikatakan dapat disegitigakan.^{[butuh rujukan]}

Matriks non-persegi dengan semua elemen di atas (atau di bawah) diagonal utama bernilai nol disebut dengan matriks trapesium bawah (atau atas). Elemen-elemen tidak nol dari matriks ini menyerupai bentuk trapesium.

Contoh

Matriks-matriks berikut termasuk matriks segitiga atas

{\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&4\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

,

{\begin{bmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}

,

{\begin{bmatrix}0&4&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}

dan matriks-matriks berikut termasuk matriks segitiga bawah

{\begin{bmatrix}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\\\end{bmatrix}}

,

{\begin{bmatrix}0&0&0\\2&0&0\\4&9&7\\\end{bmatrix}}

,

{\begin{bmatrix}1&0&0\\2&0&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

Sifat

Transpos dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah, dan juga sebaliknya.

Sebuah matriks segitiga yang juga merupakan matriks simetrik adalah matriks diagonal. Serupa dengan itu, matriks segitiga yang juga merupakan matriks normal (artinya $A^{*}A=AA^{*}$ , dengan $A^{*}$ adalah transpos sekawan) adalah matriks diagonal. Hal ini dapat terlihat dari nilai-nilai pada diagonal utama $A^{*}A$ dan $AA^{*}$ .

Determinan dan permanen dari matriks segitiga adalah hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. Lebih lanjut, nilai-nilai eigen dari matriks segitiga adalah elemen-elemen diagonal utamanya.

Subtitusi maju dan subtitusi mundur

Persamaan matriks dalam bentuk $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ atau $U\mathbf {x} =\mathbf {b}$ sangat mudah untuk diselesaikan dengan menggunakan proses subtitusi maju untuk matriks segitiga bawah, dan secara analog, subtitusi mundur untuk matriks segitiga atas. Proses ini dinamai demikian karena untuk matriks segitiga bawah, kita perlu menghitung nilai $x_{1}$ , lalu mensubtitusinya ke persamaan selanjutnya untuk menghitung $x_{2}$ , dan mengulanginya sampai ke $x_{n}$ . Pada matriks segitiga atas, kita perlu bekerja mundur, dengan menghitung $x_{n}$ , lalu mensubtitusinya ke persamaan sebelumnya untuk menghitung $x_{n-1}$ , dan mengulanginya sampai ke $x_{1}$ .

Perhatikan bahwa proses tersebut tidak memerlukan proses mencari invers dari matriks.

Subtitusi maju

Persamaan matriks $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ dapat dituliskan sebagai sistem persamaan linear

{\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}

Perhatikan bahwa persamaan pertama, yakni $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ , hanya mengandung suku $x_{1}$ , dan dapat diselesaikan secara langsung. Persamaan kedua hanya mengandung $x_{1}$ dan $x_{2}$ , sehingga dapat diselesaikan dengan mensubtitusi nilai $x_{1}$ yang didapatkan sebelumnya. Melanjutkan proses dalam cara ini, persamaan ke- $k$ hanya mengandung suku $x_{1},\dots ,x_{k}$ , dan nilai $x_{k}$ dapat ditentukan dengan menggunakan nilai $x_{1},\dots ,x_{k-1}$ yang telah didapatkan sebelumya. Dengan demikian, didapatkan rumusan:

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}

Persamaan matriks yang melibatkan matriks segitiga atas $U$ dapat diselesaikan dengan cara yang analog, namun bekerja mundur dari $x_{m}$ .

Referensi

Axler, Sheldon (1996), Linear Algebra Done Right, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98258-2
Drazin, M. P.; Dungey, J. W.; Gruenberg, K. W. (1951), "Some theorems on commutative matrices", J. London Math. Soc., 26 (3): 221–228, doi:10.1112/jlms/s1-26.3.221
Herstein, I. N. (1975), Topics in Algebra (Edisi 2nd), John Wiley and Sons, ISBN 0-471-01090-1
Prasolov, Viktor (1994), Problems and theorems in linear algebra, ISBN 9780821802366

l b s Kelas-kelas matriks
Batasan pada elemen matriks	(0,1) Alternatif Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-simetris Panah condong Bidiagonal Biner Bisimetris Diagonal balok Blok Blok segitiga Sentrosimetri Konferensi Hadamard kompleks Kopositif Dominan diagonal Ekuivalen Permutasi generalisasi Bilangan bulat Logis Monomial Nonnegatif Dipartisi Persimetris Polinomial Positif Kuarter Tanda Signatur Hermitian-miring Simetris-miring Garis langit Z Boole Cauchy Diagonal Elementer Frobenius Hadamard Hankel Hermite Hessenberg Metzler Moore Parisi Pita Permutasi Rongga Segitiga Simetrik Sylvester Transformasi Fourier diskret Tridiagonal Toeplitz Uniter Vandermonde Walsh
Konstan	Bergeser Pertukaran Hilbert Identitas Lehmer Nol Pascal Pauli Redheffer Satu
Batasan pada nilai eigen dan vektor eigen-nya	Kompasi Konvergen Defektif Diagonalisasi Generalisasi-positif Stabilitas Hurwitz Stieltjes
Batasan pada hasil perkalian atau inversnya	Congruent Involutori Generalisasi unimodular Penimbangan Idempoten atau Proyeksi Nilpoten Normal Ortogonal Singular Terbalikkan (nonsingular) Unimodular Unipoten
Dengan aplikasi tertentu	Adjugat Tanda alternatif Augmenten Lingkaran Komutasi Kofunsi Derogasi Duplikasi Eliminasi Jarak Euklides Matriks fundamental (persamaan diferensial linear) Generator Geser Persamaan Acak Bézout Carleman Cartan Coxeter Gram Hesse Householder Imbalan Jacobi Jarak Kofaktor Seifert Simplektik Transformasi Pick Positif total Rotasi Wedderburn X–Y–Z
Digunakan dalam statistika	Centering Design Dispersion Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Bernoulli Korelasi Kovariansi Stokastik (Markov)
Digunakan dalam teori graf	Adjacency Biadjacency Degree Incidence Seidel adjacency Skew-adjacency Edmonds Laplace Tutte
Digunakan dalam sains dan teknik	Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Irregular Overlap State transition Substitution Z (chemistry) Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Densitas Gamma Gell-Mann Hamilton S
Istilah yang berhubungan	Jordan canonical form Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Quaternionic matrix Bebas linear Bentuk eselon baris Invers semu Wronskian
Daftar jenis matriks Kategori:Matriks

Matriks segitiga

Definisi

Contoh

Sifat

Subtitusi maju dan subtitusi mundur

Subtitusi maju

Referensi

Bagikan artikel ini

Matriks segitiga

Definisi

Contoh

Sifat

Subtitusi maju dan subtitusi mundur

Subtitusi maju

Referensi

Bagikan artikel ini