Matriks idempoten

Dalam aljabar linear, matriks idempoten adalah sebuah matriks yang tidak berubah nilainya ketika dikalikan dengan dirinya sendiri.^[1][2] Dengan kata lain, matriks ${\displaystyle A}$ dikatakan idempoten jika dan hanya jika ${\displaystyle A^{2}=A}$. Agar hasil perkalian ${\displaystyle A^{2}}$ terdefinisi, ${\displaystyle A}$ harus berupa matriks persegi. Matriks idempoten dapat dipandang sebagai unsur idempoten pada sebuah gelanggang matriks.

Contoh

Contoh dari matriks idempoten ukuran ${\displaystyle 2\times 2}$ adalah: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}}$$

Contoh dari matriks idempoten ukuran ${\displaystyle 3\times 3}$ adalah: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}}$$

Matriks riil ukuran 2 × 2

Jika sebuah matriks riil idempoten ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$, maka entri-entrinya memiliki hubungan berikut:

• ${\displaystyle a=a^{2}+bc,}$
• ${\displaystyle b=ab+bd,}$ mensyaratkan ${\displaystyle b(1-a-d)=0}$ sehingga ${\displaystyle b=0}$ atau ${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle c=ca+cd,}$ mensyaratkan ${\displaystyle c(1-a-d)=0}$ sehingga ${\displaystyle c=0}$ atau ${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle d=bc+d^{2}.}$

Dengan demikian, syarat perlu bagi matriks 2 × 2 dikatakan idempoten adalah berupa matriks diagonal atau terasnya bernilai 1. Untuk matriks diagonal idempoten, nilai ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle d}$ harus bernilai 1 atau bernilai 0.

Jika ${\displaystyle b=c}$, matriks ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ akan idempoten ketika ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a}$. Persamaan kuadrat tersebut dapat diubah bentuknya menjadi

${\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0,}$ atau ${\displaystyle \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}}$,

yakni persamaan lingkaran dengan titik pusat (1/2, 0) dan radius 1/2. Menuliskan solusi dalam bentuk derajat θ, matriks

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}$

bersifat idempoten. Namun, ${\displaystyle b=c}$ pada matriks di atas bukanlah syarat perlu: setiap matriks

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}$ dengan ${\displaystyle a^{2}+bc=a}$ adalah matriks idempoten.

Sifat

Aplikasi

Matriks idempoten sering muncul dalam analisis regresi dan ekonometrika. Sebagai contoh, dalam ordinary least squares, permasalahan regresi adalah mencari vektor koefisien ${\displaystyle \beta }$ sehingga dapat meminimunkan kuadrat residu ${\displaystyle e_{i}}$ (prediksi yang salah). Permasalahan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks,

Minimumkan ${\displaystyle (y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )}$

dengan ${\displaystyle y}$ adalah vektor dari variabel terikat hasil observasi, dan ${\displaystyle X}$ adalah sebuah matriks dengan setiap kolomnya adalah variabel-variabel bebas dalam observasi. Estimator untuk vektor ${\displaystyle \beta }$ adalah

${\displaystyle {\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y}$

dengan simbol ${\displaystyle {\textsf {T}}}$ menunjukkan operasi transpos; vektor residu dari observasi adalah^[2]

${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[I-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My.}$

Dalam persamaan ini, baik matriks ${\displaystyle M}$ dan ${\displaystyle X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}}$ adalah matriks idempoten sekaligus matriks simetris, yang dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan jumlah kuadrat residu:

${\displaystyle {\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(My)^{\textsf {T}}(My)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}My=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}My.}$

Sifat idempoten dari ${\displaystyle M}$ juga dipakai untuk menyederhanakan perhitungan lainnya, contohnya dalam menentukan variansi dari estimator ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$.

Referensi