Matriks normal

Dalam matematika, suatu matriks persegi ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dengan entri-entri kompleks dikatakan normal jika ia bersifat komutatif atas perkalian matriks dengan transpos konjugat ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$; secara matematis dinyatakan sebagai ${\displaystyle \mathbf {AA} ^{*}=\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} }$. Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadi operator normal di ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga, dan elemen normal di aljabar C*.

Definisi

Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah matriks kompleks berukuran ${\displaystyle n\times n}$, pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

1. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah matriks normal.
2. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dapat diagonalkan oleh suatu matriks uniter.
3. Ada suatu himpun vektor-vektor eigen dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$ yang membangun basis ortonormal bagi ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
4. ${\displaystyle \left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|}$ untuk sembarang x.
5. Norma Frobenius dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dapat dihitung dari nilai-nilai eigen ${\displaystyle \mathbf {A} }$, yakni ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$.
6. Bagian Hermite ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{*})}$ dan bagian skew-Hermitian ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{*})}$ dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$ saling komutatif.
7. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ suatu polinomial (dengan derajat maksimum ${\displaystyle n-1}$) dalam ${\displaystyle \mathbf {A} }$.^[a]
8. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU} }$ untuk suatu matriks uniter ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU} }$.^[1]
9. ${\displaystyle \mathbf {U} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {P} }$ saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki dekomposisi kutub ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {UP} }$ dengan suatu matriks uniter ${\displaystyle \mathbf {U} }$ dan suatu matriks semidefinit positif ${\displaystyle \mathbf {P} }$.
10. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ saling komutatif dengan suatu matriks normal ${\displaystyle \mathbf {N} }$ yang nilai-nilai eigennya yang unik.
11. ${\displaystyle \sigma _{i}=|\lambda _{i}|}$ untuk semua ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$, dengan ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \dots \geq \sigma _{n}}$ dan ${\displaystyle |\lambda _{1}|\geq \dots \geq |\lambda _{n}|}$ masing-masing adalah nilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$.^[2]

Kasus khusus

Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks uniter, Hermite, dan skew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks ortogonal, simetrik, dan skew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau (skew-)Hermite. sebagai contoh,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}$

tidak uniter, Hermite, maupun skew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena

${\displaystyle AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.}$

Catatan kaki

Referensi

Sumber

• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.
• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7.

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

• l
• b
• s