Faktor persekutuan terbesar

Artikel ini adalah bagian dari seri:
Matematika
Ragam Garis besar matematika Aritmetika Bahasa pemrograman Filsafat matematika Matematika diskrit Matematika Islam Matematika keuangan Matematika murni Matematika terapan Matematika Yunani Pendidikan matematika
Aritmetika dasar Digit Penambahan (+) Pengurangan (-) Perkalian (×) Pembagian (÷)
Konsep matematika Faktorisasi dan Faktorisasi prima Bilangan prima dan Faktor persekutuan terbesar Garis bilangan Kelipatan dan Kelipatan persekutuan terkecil Pecahan Perpangkatan Akar bilangan dan Akar kuadrat Logaritma Himpunan Fungsi Peluang Rasio Dimensi Persamaan Sistem koordinat Statistika Teorema dasar kalkulus Teorema nilai antara Teorema nilai purata Teorema pythagoras Hipotenusa
Bangun datar dan ruang Persegi Persegi panjang Segitiga Segi lima Segi enam Segi delapan Tetrahedron Kubus Oktahedron Dodekahedron Ikosahedron
Alat matematika Swipoa Kalkulator Penggaris Jangka Jangka sorong Busur derajat
l b s

Dalam matematika, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama membagi habis kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.

Dua bilangan atau lebih disebut saling prima jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan bilangan prima)

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam aritmetika dan teori bilangan.

Definisi

Suatu bilangan ${\displaystyle c}$ disebut faktor persekutuan bilangan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ jika ${\displaystyle c}$ habis membagi bilangan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ sekaligus.

Suatu bilangan ${\displaystyle d}$ disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:^[1]

• ${\displaystyle d}$ faktor persekutuan bilangan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$; dan
• jika ${\displaystyle c}$ faktor persekutuan bilangan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ maka berlaku ${\displaystyle c\leq d}$

bilangan ${\displaystyle d}$ ditulis sebagai ${\displaystyle FPB(a,b)}$^[2] atau ${\displaystyle (a,b)}$.^[1]

Contoh

• Faktor dari ${\displaystyle 12}$ adalah ${\displaystyle 1,2,3,{\color {red}{4}},6,12}$
• Faktor dari ${\displaystyle 20}$ adalah ${\displaystyle 1,2,{\color {red}{4}},5,10,20}$

Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan ${\displaystyle \operatorname {FPB} (12,20)=4}$.

Perhitungan FPB

1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
   u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
   v = minimum (u,v);
4. FPB(a,b)=u;

Sifat

Untuk sebarang bilangan bulat ${\displaystyle a,b,c}$, dengan ${\displaystyle |a|}$ adalah nilai multak dari ${\displaystyle a}$, berlaku:

• Sifat komutatif, yaitu ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (b,a)}$.
• Sifat asosiatif, yaitu ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b,c)=\operatorname {FPB} (a,\operatorname {FPB} (b,c))=\operatorname {FPB} (\operatorname {FPB} (a,b),c)}$.
• Sifat distributif, yaitu ${\displaystyle \operatorname {FPB} (ac,bc)=c\cdot \operatorname {FPB} (a,b)}$
• Jika ${\displaystyle c}$ faktor persekutuan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, maka ${\displaystyle c\mid \operatorname {FPB} (a,b)}$, dan ${\displaystyle \operatorname {FPB} \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)={\frac {\operatorname {FPB} (a,b)}{c}}}$, sehingga jika ${\displaystyle d=\operatorname {FPB} (a,b)}$ maka ${\displaystyle \operatorname {FPB} \left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {FPB} (\pm a,\pm b)=\operatorname {FPB} (b,a)}$
• ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (a,b-a)=\operatorname {FPB} (a,b+a)=\operatorname {FPB} (a,b-ca)}$
• ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,0)=|a|}$
• ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,1)=1}$
• Untuk sebarang bilangan bulat positif ${\displaystyle a,b}$, ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)=b}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle b}$ habis membagi ${\displaystyle a}$.

Koprima

Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.^[6]

Penerapan

Lihat pula

• Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Rujukan