Turunan

Sebagai limit suatu fungsi

Suatu fungsi dengan variabel real ${\displaystyle f(x)}$ dapat dikatakan terdiferensialkan (atau dapat diturunkan) di suatu titik ${\displaystyle a}$ dari domain fungsi, apabila domain tersebut memiliki suatu interval terbuka yang mengandung ⁠${\displaystyle a}$⁠, dan limit $${\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$$ada.^[1] Definisi ini dapat dijabarkan lebih cermat lagi ke dalam definisi limit menggunakan epsilon-delta: untuk suatu bilangan real positif ⁠${\displaystyle \varepsilon }$⁠, terdapat bilangan real positif ${\displaystyle \delta }$ sehingga, untuk tiap ${\displaystyle h}$ sehingga ${\displaystyle |h|<\delta }$ dan ${\displaystyle h\neq 0}$, maka ${\displaystyle f(a+h)}$ didefinisikan sebagai$${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon .}$$Pada pertidaksamaan di atas, dua garis vertikal menyatakan nilai mutlak.^[2]

Apabila fungsi ${\displaystyle f}$ terdiferensialkan di titik ⁠${\displaystyle a}$⁠, dalam artian, jika ${\displaystyle L}$ itu ada, maka limit tersebut dinamakan turunan dari ${\displaystyle f}$ di ⁠${\displaystyle a}$⁠. Ada beberapa banyak notasi untuk turunan.^[3] Turunan dari ${\displaystyle f}$ di ${\displaystyle a}$ dapat dilambangkan ⁠${\displaystyle f'(a)}$⁠ atau ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$⁠. Lihat § Notasi di bawah. Apabila ${\displaystyle f}$ adalah suatu fungsi yang memiliki turunan di setiap titik di dalam domainnya, maka suatu fungsi dapat didefinisikan dengan memetakan tiap titik ${\displaystyle x}$ ke nilai dari turunan dari ${\displaystyle f}$ di ⁠${\displaystyle x}$⁠. Fungsi tersebut dituliskan ${\displaystyle f'}$ dan dinamakan turunan fungsi atau turunan dari ⁠${\displaystyle f}$⁠. Fungsi ${\displaystyle f}$ kadangkala mempunyai turunan di, paling banyak tapi tidak semua, titik dari domainnya. Fungsi yang nilainya di ${\displaystyle a}$ sama dengan ${\displaystyle f'(a)}$ ketika ${\displaystyle f'(a)}$ didefinisikan, dan fungsi yang nilainya selain ${\displaystyle a}$ itu tidak didefinisikan juga dinamakan turunan dari ⁠${\displaystyle f}$⁠. Masih merupakan suatu fungsi, tetapi domainnya mungkin lebih kecil daripada domain dari ⁠${\displaystyle f}$⁠.^[4]

Sebagai contoh, misalkan ${\displaystyle f}$ adalah fungsi kuadrat ⁠${\displaystyle f(x)=x^{2}}$⁠. Maka perhitungan pembagian menurut definisi turunan adalah $${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h.}$$Pembagian pada langkah terakhir adalah benar selama ⁠${\displaystyle h\neq 0}$⁠. Semakin ${\displaystyle h}$ mendekati ke ⁠${\displaystyle 0}$⁠, ekspresi tersebut semakin dekat ke nilai ⁠${\displaystyle 2a}$⁠. Limitnya ada, dan untuk setiap input ${\displaystyle a}$ limitnya adalah ⁠${\displaystyle 2a}$⁠. Jadi, turunan dari fungsi kuadrat adalah dua kali lipatnya fungsi linear ⁠${\displaystyle f'(x)=2x}$⁠.^[5]

Rasio pada definisi turunan merupakan kemiringan garis yang melalui dua titik pada grafik fungsi ⁠${\displaystyle f}$⁠. Kedua titik tersebut adalah ${\displaystyle (a,f(a))}$ dan ⁠${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$⁠. Saat ${\displaystyle h}$ dibuat menjadi lebih kecil, titik-titik tersebut akan semakin mendekat, dan kemiringan garis tersebut mendekati nilai limit, yakni kemiringan garis yang menyinggung grafik fungsi ${\displaystyle f}$ di ⁠${\displaystyle a}$⁠. Dengan kata lain, turunan adalah kemiringan garis singgung suatu fungsi.^[6]

Menggunakan infinitesimal

Salah satu cara memandang turunan ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ sebagai rasio suatu perubahan infinitesimal dalam nilai keluaran fungsi ${\displaystyle f}$ dengan perubahan infinitesimal dalam nilai masukannya.^[7] Supaya intuisi ini terlihat cermat, diperlukan sistem berupa kumpulan aturan yang memanipulasi kuantitas infinitesimal.^[8] Sistem bilangan hiperreal memperlakukan kuantitas tak hingga dan infinitesimal. Hiperreal adalah bentuk perluasan bilangan real yang mengandung bilangan-bilangan yang lebih besar daripada bilangan apa saja dari bentuk ${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$ untuk sebarang jumlah suku yang terhingga. Bilangan-bilangan demikian adalah tak hingga, dan invers perkalian dari bilangan-bilangan tersebut adalah infinitesimal. Penerapan bilangan hiperreal ke fondasi kalkulus dinamakan analisis nonstandar. Dengan cara ini, konsep-konsep dasar seperti turunan dan integral dapat didefinisikan menggunakan infinitesimal, sehingga memberikan makna yang akurat untuk ${\displaystyle d}$ dalam notasi Leibniz. Dengan demikian, turunan dari ${\displaystyle f(x)}$ dapat ditulis ulang menjadi$${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$$untuk sebarang infinitesimal ⁠${\displaystyle dx}$⁠. Lambang ${\displaystyle \operatorname {st} }$ mengartikan fungsi standard part [en], yang "membulatkan" tiap bilangan hiperreal terhingga ke bilangan real terdekat.^[9] Ambil contoh tadi, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, maka, $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}$$

Kaidah untuk fungsi-fungsi dasar

Setiap aturan pada bagian ini dapat dihasilkan dengan membuat persamaan beda, lalu menghitung limit ${\displaystyle h\to 0}$. Proses tersebut memerlukan strategi yang berbeda untuk mendapatkan hasil turunan, tergantung jenis fungsinya. Pada bagian ini, ${\displaystyle a}$ berupa bilangan real.

• Turunan pangkat:

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}={\frac {d}{dx}}x\cdot a\cdot x^{a-1}}$

• Turunan implisit^[27]:

Contoh 1: mencari turunan dy/dx dari:

${\displaystyle x^{3}+3x+2=y^{2}}$

dapat dilakukan dengan cara berikut:

${\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}(x^{3}+3x+2)={\frac {d}{dx}}(y^{2})}$

${\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}x^{3}+{\frac {d}{dx}}3x+{\frac {d}{dx}}2={\frac {d}{dx}}y^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \quad 3x^{2}+3={\frac {d}{dx}}{\frac {dy}{dy}}y^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \quad 3x^{2}+3={\frac {dy}{dx}}{\frac {d}{dy}}y^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \quad 3x^{2}+3={\frac {dy}{dx}}2y}$

${\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {dy}{dx}}={\frac {3x^{2}+3}{2y}}}$

Contoh 2: mencari turunan dx/dy dari:

${\displaystyle x^{3}+3x+2=y^{2}}$

dapat dilakukan dengan cara berikut:

${\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {d}{dy}}x^{3}+{\frac {d}{dy}}3x+{\frac {d}{dy}}2={\frac {d}{dy}}y^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {d}{dy}}{\frac {dx}{dx}}x^{3}+{\frac {d}{dy}}{\frac {dx}{dx}}3x=2y}$

${\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}x^{3}+{\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}3x=2y}$

${\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {dx}{dy}}3x^{2}+{\frac {dx}{dy}}3=2y}$

${\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {dx}{dy}}={\frac {2y}{3x^{2}+3}}}$

• Fungsi eksponensial dan logaritma:

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a),\qquad a>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}},\qquad x,a>0}$

• Fungsi trigonometri:

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}$

• Fungsi invers trigonometri:

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Kaidah untuk fungsi komposit

Beberapa aturan berikut dapat digunakan untuk menentukan turunan komposisi fungsi dengan membaginya menjadi masalah-masalah turunan yang lebih sederhana. Pada bagian ini, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$, dan ${\displaystyle h}$ adalah fungsi yang terdiferensialkan pada selang ${\displaystyle I}$.

• Aturan konstanta:

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$ untuk ${\displaystyle f(x)}$ berupa fungsi konstan.

• Kaidah jumlah:

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$ untuk semua fungsi f dan g, dan untuk semua bilangan real ${\displaystyle \alpha }$ dan ${\displaystyle \beta }$.

• Kaidah darab:

  ${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}$ untuk semua fungsi f dan g. Aturan ini mencakup kasus yang istimewa, yakni fakta bahwa ${\displaystyle (\alpha \cdot f)'=\alpha \cdot f'}$ dengan ${\displaystyle \alpha }$ berupa konstanta. Karena menurut aturan konstanta, ${\displaystyle (\alpha \cdot f)'=\alpha \cdot f'+\alpha '\cdot f=\alpha \cdot f'+0\cdot f=\alpha \cdot f'}$.

• Kaidah hasil-bagi:

  ${\displaystyle \left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}}$ untuk semua fungsi ${\displaystyle g}$ dan ${\displaystyle h}$, di semua titik ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle I}$ yang memenuhi ${\displaystyle h(x)\neq 0}$. Pada kasus ${\displaystyle g}$ berupa fungsi konstan bernilai ${\displaystyle 1}$, akan didapatkan hubungan ${\displaystyle \left({\frac {1}{h}}\right)'={\frac {-h'}{h^{2}}}}$

• Aturan rantai untuk komposisi fungsi:

  Jika fungsi ${\displaystyle h}$ terdiferensialkan pada selang ${\displaystyle I_{1}}$, dan fungsi ${\displaystyle g}$ terdiferensialkan pada selang ${\displaystyle I_{2}=h(I_{1})}$ (${\displaystyle I_{2}}$ adalah citra dari ${\displaystyle I_{1}}$ yang dihasilkan fungsi ${\displaystyle h}$), maka komposisi fungsi ${\displaystyle g\circ h}$ terdiferensialkan di ${\displaystyle I_{1}}$ dan

  ${\displaystyle (g\circ h)'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).}$

• Kaidah fungsi invers:

  Jika fungsi ${\displaystyle f}$ bersifat bijektif, dan ${\displaystyle f^{-1}}$ adalah invers dari fungsi tersebut, maka

  ${\displaystyle [f^{-1}]'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}}$

  Hubungan ini berlaku sembarang titik ${\displaystyle x}$ yang memenuhi ${\displaystyle f'(f^{-1}(x))\neq 0}$

Contoh perhitungan

Turunan dari fungsi

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$

dapat dilakukan dengan pertama kali menerapkan kaidah jumlah; turunan dari penjumlahan fungsi-fungsi sama dengan penjumlahan dari turunan fungsi-fungsi:

$${\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}(x^{4})+{\frac {d}{dx}}{\Big (}\cos \left(x^{2}\right){\Big )}-{\frac {d}{dx}}(e^{x})-{\frac {d}{dx}}{\Big (}\ln(x)e^{x}{\Big )}+{\frac {d}{dx}}(7)}$$Tahap selanjutnya adalah menghitung turunan dari masing-masing fungsi. Kaidah rantai digunakan untuk menentukan turunan dari ${\displaystyle \cos(x^{2})}$, sedangkan kaidah darab digunakan untuk menentukan turunan ${\displaystyle \ln(x)e^{x}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$

Fungsi mulus

Sebuah fungsi yang dapat diturunkan tak hingga kali disebut fungsi mulus. Tidak semua fungsi merupakan fungsi mulus; sebagai contoh, fungsi ${\displaystyle f}$ yang tidak kontinu tidak dapat diturunkan. Serupa dengan itu, bahkan jika ${\displaystyle f}$ memiliki turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan fungsi

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{jika }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{jika }}x\leq 0.\end{cases}}}$

Perhitungan menunjukkan bahwa ${\displaystyle f'(x)=2|x|}$ adalah fungsi yang terdiferensialkan namun tidak memiliki turunan di nol. Jika suatu fungsi dapat diturunkan k kali berturut-turut dan turunan ke-k-nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota kelas keterdiferensialan C^k.

Polinomial Taylor dengan sisa

Pada garis bilangan real, setiap fungsi polinomial terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan kaidah turunan pangkat, sebuah polinomial berderajat n akan menjadi fungsi konstan jika diturunkan sebanyak n kali. Semua turunan fungsi tersebut selanjutnya sama dengan 0 (fungsi konstan). Hal ini mengartikan fungsi polinomial termasuk fungsi mulus.

Turunan tingkat tinggi dari sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ di suatu titik ${\displaystyle x}$, akan memberikan hampiran polinomial terbaik untuk fungsi tersebut di sekitar titik ${\displaystyle x}$. Sebagai contoh, jika ${\displaystyle f}$ terdiferensialkan dua kali, maka

${\displaystyle f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}}$

dalam artian bahwa

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.}$

Jika ${\displaystyle f}$ terdiferensialkan tak hingga kali, maka persamaan turunan kedua dapat diteruskan menjadi deret Taylor untuk fungsi ${\displaystyle f}$ yang dievaluasi di x + h sekitar titik x.

Kaidah untuk turunan tingkat tinggi

• Aturan Leibniz

  Jika ${\displaystyle f}$ dan ${\displaystyle g}$ dapat diturunkan sebanyak ${\displaystyle n}$ kali, maka turunan ke-${\displaystyle n}$ dari fungsi ${\displaystyle f(x)\cdot g(x)}$ adalah

  ${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}.}$

  Ekspresi ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ yang muncul pada persamaan tersebut menandakan koefisien binomial. Aturan ini adalah perumuman dari kaidah darab.

Keterdiferensialan dan matriks Jacobi

Turunan parsial

Artikel utama: Turunan parsial

z = x^2 + xy + y^2</math>. Pada turunan parsial dengan nilai variabel <math>y</math> konstan, [[garis singgung]] yang dihasilkan akan sejajar dengan bidang-''xz''."},"image2":{"wt":"X2+X+1.svg"},"caption2":{"wt":"Irisan dari grafik fungsi di bidang-''xz'' <math>y=1</math>. Dua sumbu yang disajikan di sini memiliki skala yang berbeda. Kemiringan dari garis singgung di titik <math>(1,\\,1)</math> sama dengan 3."}},"i":0}}]}' id="mwAtI"/>

Grafik dari fungsi ${\displaystyle z=x^{2}+xy+y^{2}}$. Pada turunan parsial dengan nilai variabel ${\displaystyle y}$ konstan, garis singgung yang dihasilkan akan sejajar dengan bidang-xz.

Irisan dari grafik fungsi di bidang-xz ${\displaystyle y=1}$. Dua sumbu yang disajikan di sini memiliki skala yang berbeda. Kemiringan dari garis singgung di titik ${\displaystyle (1,\,1)}$ sama dengan 3.

Misalkan ${\displaystyle f}$ adalah fungsi multivariabel, sebagai contoh ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$ Fungsi ${\displaystyle f}$ dapat dianggap sebagai keluarga fungsi satu variabel yang diindeks oleh variabel-variabel yang lain:

${\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

Dalam contoh ini, setiap nilai ${\displaystyle x}$ akan menghasilkan sebuah fungsi ${\displaystyle f_{x}}$ yang merupakan fungsi satu variabel. Hal ini dapat dinyatakan dengan pemetaan

${\displaystyle x\mapsto f_{x},}$

${\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

Setelah suatu nilai ${\displaystyle x}$ dipilih, misalnya ${\displaystyle x=a}$, maka ${\displaystyle f(x,y)}$ selanjutnya menentukan sebuah fungsi ${\displaystyle f_{a}}$ yang memetakan ${\displaystyle y}$ ke ${\displaystyle a^{2}+ay+y^{2}}$, juga dapat ditulis sebagai ${\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}}$. Dalam ekspresi tersebut ${\displaystyle a}$ adalah sebuah konstanta dan bukan sebuah variabel, menjadikan ${\displaystyle f_{a}}$ sebagai fungsi satu variabel. Alhasil, definisi turunan untuk fungsi satu variabel berlaku:

${\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.}$

Prosedur ini dapat diterapkan untuk sembarang pemilihan nilai ${\displaystyle a}$. Menggunakan notasi Leibniz, turunan ini menyampaikan perbandingan perubahan nilai fungsi ${\displaystyle f}$ dalam arah ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.}$

dan disebut sebagai turunan berarah dari ${\displaystyle f}$ terhadap ${\displaystyle y}$. Dalam ekspresi tersebut, simbol ∂ adalah huruf d melengkung yang disebut sebagai simbol turunan parsial. Untuk membedakannya dengan huruf d yang digunakan dalam turunan satu variabel, ∂ terkadang dilafalkan sebagai "der", "del", atau "parsial", ketimbang "de".

Secara umum, turunan parsial sebuah fungsi ${\displaystyle f(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})}$ dalam arah ${\displaystyle x_{i}}$ di titik ${\displaystyle (a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}$ didefinisikan sebagai

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$

Dalam perbandingan beda di atas, semua nilai variabel kecuali ${\displaystyle x_{i}}$ dibuat konstan. Tindakan membuat konstan variabel-variabel ini akan menghasilkan fungsi satu variabel

${\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}$

dan dari definisi,

${\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}$

Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan turunan satu variabel.

Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan terkait fungsi bernilai vektor. Misalkan ${\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\,\dots ,\,x_{n})}$ sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial ${\displaystyle {\tfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}}$ terdefinisi di titik ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}$, turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor

${\displaystyle \nabla \mathbf {f} (a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\,\ldots ,{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$

yang disebut sebagai gradien dari ${\displaystyle \mathbf {f} }$ di ${\displaystyle \mathbf {a} }$. Jika ${\displaystyle \mathbf {f} }$ terdiferensialkan di setiap titik di suatu domain, maka gradien adalah sebuah fungsi bernilai vektor ${\displaystyle \nabla \mathbf {f} }$ yang memetakan titik ${\displaystyle (a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}$ ke vektor ${\displaystyle \nabla \mathbf {f} (a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}$. Akibatnya, gradien menentukan suatu medan vektor.

Turunan berarah

Artikel utama: Turunan berarah

Jika ${\displaystyle f}$ adalah fungsi bernilai real di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, maka turunan parsial ${\displaystyle f}$ mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika ${\displaystyle f}$ adalah fungsi dari ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$, maka turunan parsial ${\displaystyle f}$ mengukur variasi di ${\displaystyle f}$ dalam arah ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$. Tapi, turunan ${\displaystyle f}$ tidak mengukur secara langsung variasi ${\displaystyle f}$ pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal ${\displaystyle y=x}$. Ini diukur menggunakan turunan berarah. Misalkan vektor

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}),}$

turunan berarah ${\displaystyle f}$ dalam arah ${\displaystyle \mathbf {v} }$ di titik x didefinisikan melalui limit

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$

Dalam beberapa kasus, menghitung atau menaksir turunan berarah akan lebih mudah setelah panjang vektor diubah. Proses ini sering kali dilakukan dengan mengubah suatu masalah menjadi perhitungan berupa turunan berarah dalam arah satuan vektor. Sebagai contoh, misalkan ${\displaystyle \mathbf {v} =\lambda \mathbf {u} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {u} }$ adalah satuan vektor pada arah ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Mensubstitusi ${\displaystyle h={\tfrac {k}{\lambda }}}$ ke perbandingan beda di ruas kanan persamaan, akan menghasilkan bentuk

${\displaystyle {\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.}$

Dengan mengambil limit ${\displaystyle h}$ menuju nol dari persamaan di atas, didapatkan hubungan turunan berarah ${\displaystyle f}$ dalam arah vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sama saja dengan ${\displaystyle \lambda }$ kali turunan berarah ${\displaystyle f}$ dalam arah vektor satuan ${\displaystyle \mathbf {u} }$. Oleh karena itu, ${\displaystyle D_{\mathbf {v} }(f)=\lambda D_{\mathbf {u} }(f)}$. Karena sifat penskalaan ini, turunan berarah sering kali digunakan hanya untuk vektor satuan.

Jika semua turunan parsial ${\displaystyle f}$ ada dan kontinu di ${\displaystyle \mathbf {x} }$, maka semua turunan parsial menentukan turunan berarah ${\displaystyle f}$ pada arah ${\displaystyle \mathbf {v} }$ melalui rumus berikut:

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$

Rumus di atas merupakan akibat dari definisi turunan total. Rumus ini juga menunjukkan bahwa turunan berarah bersifat linear di ${\displaystyle \mathbf {v} }$, dalam artian ${\displaystyle D_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }(f)=D_{\mathbf {v} }(f)+D_{\mathbf {w} }(f)}$.

Definisi yang sama juga berlaku ketika ${\displaystyle f}$ berupa fungsi yang memiliki nilai di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$; dengan menerapkan definisi pada setiap komponen vektor. Pada kasus ini, turunan berarah merupakan vektor di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.