Kaidah pendiferensialan

Pendiferensialan adalah linier

Untuk fungsi-fungsi f dan g dan bilangan real a dan b apapun, turunan fungsi h(x) = af(x) + bg(x) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$

Kasus-kasus khusus meliputi:

• Kaidah faktor konstan

${\displaystyle (af)'=af'\,}$

• Kaidah penjumlahan

${\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}$

• Kaidah pengurangan

${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}$

Kaidah hasil kali

Untuk fungsi-fungsi f dan g, turunan fungsi h(x) = f(x) g(x) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}$

Kaidah rantai

Turunan dari fungsi h(x) = f(g(x)) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{dx}}.\,}$

Namun, dengan melonggarkan penafsiran h sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}{\frac {dg}{dx}}.\,}$

Kaidah fungsi inversi

Jika fungsi f mempunyai suatu fungsi invers g, yaitu g(f(x)) = x dan f(g(y)) = y, maka

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Kaidah pangkat polinomial atau elementer

Jika ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$, untuk bilangan bulat n apapun maka

${\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\,}$

Kasus-kasus khusus meliputi:

• Kaidah konstanta: jika f adalah fungsi konstanta f(x) = c, untuk bilangan c apapun, maka untuk semua x, f′(x) = 0.
• jika f(x) = x, maka f′(x) = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi:

  Turunan suatu fungsi affine adalah suatu konstanta: jika f(x) = ax + b, maka f′(x) = a.

Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.

Kaidah timbal-balik

Turunan dari h(x) = 1/f(x) untuk fungsi f (yang "tidak menghilang"; nonvanishing) manapun adalah:

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}.\ }$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.\,}$

Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan dari kaidah rantai (chain rule) dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; power rule).

Kaidah hasil bagi

Jika f dan g adalah fungsi, maka:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$ di mana g bukan nol.

Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus f(x) = 1.

Kaidah pemangkatan yang dirampat

Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" (functional power rule): untuk fungsi-fungsi f dan g apappun,

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$

di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.

Kasus-kasus khusus:

• Jika f(x) = x^a, f′(x) = ax^{a − 1} bilamana a adalah suatu bilangan real dan x adalah positif.
• Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana g(x) = −1.

Turunan logaritmik

Turunan logaritmik adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$ wherever f is positive.

Rumus Faà di Bruno

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}$

di mana ${\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ dan himpunan ${\displaystyle \{k_{m}\}}$ terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine ${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$.

Kaidah Leibniz umum

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$