Masalah ketiga Hilbert

David Hilbert menyajikan kumpulan 23 masalah matematika. Masalahnya yang ketiga adalah masalah yang pertama kali terpecahkan pada tahun 1900. Masalah ini menanyakan

Diketahui sebarang dua polihedron yang mempunyai volume yang sama besar. Apakah selalu mungkin untuk membelahnya menjadi potongan-potongan polihedron yang terhingga banyaknya, sehingga potongan tersebut dapat disatukan kembali menghasilkan polihedron kedua?

Berdasarkan tulisan Carl Friedrich Gauss sebelumnya,^[1] David Hilbert menduga bahwa ini tidak selalu mungkin. Muridnya, Max Dehn, memastikan konjekturnya dengan suatu contoh penyangkal.^[2]

Latar belakangan dan motivasi

Rumus untuk mencari volume suatu limas, yakni sepertiga dari hasil kali alas dan tinggi, sudah diketahui Euklides. Akan tetapi, semua pembuktiannya melibatkan beberapa bentuk proses limit atau kalkulus, terutama metode penghabis, atau prinsip Cavalieri dalam bentuk modern. Rumus-rumus yang serupa di dalam geometri bidang dapat dibuktikan dengan cara yang lebih mendasar. Gauss menyesalkan kecacatan pembuktian tersebut dalam kedua suratnya kepada Christian Ludwig Gerling, yang membuktikan bahwa dua buah tetrahedron simetris adalah equidecomposable [en].^[3]

Surat Gauss menjadi motivasi David Hilbert, yakni apakah mungkin untuk membuktikan kesamaan volume menggunakan metode "cut-and-glue" yang mendasar, untuk sebarang polihedron atau terlebih lagi kasus yang diketahui oleh Euklides.^[4] Hal yang menarik motivasi Hilbert berasal dari teorema Wallace–Bolyai–Gerwien pada awal abad ke-19. Teorema itu berbunyi bahwa sebarang dua poligon dengan luas yang sama dapat dibelah menjadi beberapa potongan poligon dan disatukan kembali. Hilbert menggunakan teorema tersebut sebagai cara mengaksiomatisasi luas dari poligon berdimensi dua, sehubungan dengan aksioma Hilbert untuk geometri Eukildes.^[5] Pada tahun 1900, Hilbert kemudian memformulasikan kumpulan yang terdiri dari 23 masalah matematika yang berdampak pada abad ke-20 di International Congress of Mathematicians. Di dalam kumpulan masalah tersebut, Hilbert mengajukan masalah ketiga tentang aksiomatisasi volume bangun ruang, yang menanyakan apakah setiap dua polihedron dengan volume yang sama besar dapat dibelah menjadi potongan-potongan polihedron dan disatukan kembali.^[6][a]

Dua polihedron dinamakan scissors-congruent jika suatu polihedron dapat dibelah menjadi potongan-potongan polihedron yang terhingga banyaknya yang dapat disatukan kembali menjadi polihedron yang lain. Sebarang dua polihedron scissors-congruent memiliki volume yang sama. Pada masalah ini, Hilbert menanyakan pernyataan sebaliknya.

Solusi

Untuk setiap polihedron ${\displaystyle P}$, Max Dehn mendefinisikan suatu nilai yang kini dikenal sebagai invarian Dehn ${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$. Nilai ini memiliki sifat bahwa, jika ${\displaystyle P}$ dibelah menjadi potongan-potongan polihedron ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n}}$, maka$${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\operatorname {D} (P_{1})+\operatorname {D} (P_{2})+\cdots +\operatorname {D} (P_{n}).}$$Secara partikular, apabila dua polihedron adalah scissors-congruent, maka polihedron tersebut memiliki invarian Dehn yang sama. Dehn kemudian memperlihatkan bahwa setiap kubus memiliki invarian Dehn bernilai nol, sementara setiap tetrahedron beraturan memiliki invarian Dehn bernilai tak nol. Oleh karena itu, kedua bentuk tersebut tidak dapat berupa scissors-congruent.^[2][7] Ini menyiratkan bahwa tidak semua polihedron dapat dibelah menjadi beberapa kubus-kubus. Dengan demikian, solusi ini memberikan jawaban negatif.^[6]

Suatu invarian polihedron didefinisikan berdasarkan panjang rusuknya dan sudut di antara kedua mukanya. Apabila suatu polihedron dibelah menjadi dua, beberapa rusuk ada yang terpotong menjadi dua rusuk, dan kontribusi yang bersesuaian dengan invarian Dehn semestinya aditif dalam panjang rusuk. Dengan hal yang serupa, apabila suatu polihedron dibelah di sepanjang suatu rusuk, maka sudut yang bersesuaian dibelah menjadi dua sudut. Membelah suatu polihedron galibnya juga memperkenalkan rusuk dan sudut yang baru, sehingga sama-sama membatalkan. Sudut-sudutnya diperkenalkan ketika suatu belahan yang melalui suatu muka ditambahkan dengan ${\displaystyle \pi }$, dan suatu sudut yang diperkenalkan di sekitar rusuk di dalam polihedron ditambahkan dengan ${\displaystyle 2\pi }$. Oleh karena demikian, invarian Dehn didefinisikan dengan cara tersebut sehingga kelipatan bilangan bulat sudut dari ${\displaystyle \pi }$ memberikan kontribusi nol.^[8]

Semua persyaratan di atas dapat terpenuhi dengan mendefinisikan ${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$ sebagai elemen dari produk tensor dari bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (yang merepresentasikan panjang rusuk) dan ruang kuosien ${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$ (merepresentasikan sudut, dengan semua kelipatan bilangan rasional dari ${\displaystyle \pi }$ digantikan oleh nol).^[8] Berbagai alasan, definisi ini dapat dihasilkan dengan menggunakan produk tensor modul atas ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (atau dari grup abelian), sedangkan aspek-aspek lain dari topik ini menggunakan struktur ruang vektor pada invarian, yang didapatkan dengan memandang dua faktor ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dan ${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$ sebagai ruang vektor atas ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dan mengambil produk tensor ruang vektor atas ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Pemilihan struktur tersebut pada definisi yang diberikan tidak membuahkan perbedaan apakah dua invarian Dehn, yang didefinisikan dengan cara yang berbeda, adalah sama atau tidak.

Untuk sebarang rusuk ${\displaystyle e}$ dari suatu polihedron ${\displaystyle P}$, misalkan ${\displaystyle \ell (e)}$ panjang rusuk dan ${\displaystyle \theta (e)}$ sudut dihedral dari dua muka polihedron ${\displaystyle P}$ yang bertemu di ${\displaystyle e}$, yang diukur dalam bentuk radian dan dipandang sebagi moduli kelipatan rasional dari ${\displaystyle \pi }$. Maka, invarian Dehn didefinisikan sebagai$${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\sum _{e}\ell (e)\otimes \theta (e)}$$dengan penjumlahannya berdasakan semua rusuk ${\displaystyle e}$ yang diketahui dari polihedron ${\displaystyle P}$.^[8] Hasilnya adalah valuasi.

Informasi lebih lanjut

Dengan mempertimbangkan teorema Dehn di atas, seseorang mungkin bertanya "polihedron manakah yang termasuk scissors-congruent"? Sydler (1965) memperlihatkan bahwa dua polihedron adalah scissors-congruent jika dan hanya jika polihedron tersebut mempunyai volume dan invarian Dehn yang sama.^[9] Børge Jessen kemudian memperluas hasil Sydler ke dalam ruang berdimensi empat.^[10] Pada tahun 1990, Dupont dan Sah menyediakan pembuktian lebih sederhana untuk hasil Sydler dengan menginterpretasikannya ulang sebagai suatu teorema mengenai homologi dari grup klasik tertentu.^[11]

Debrunner memperlihatkan pada tahun 1980 bahwa invarian Dehn dari sebarang polihedron. Semua polihedron tersebut yang dapat diubinkan secara periodik di dalam ruang berdimensi tiga memiliki invarian Dehn bernilai nol.^[12]

Jessen juga mengusulkan pertanyaan, apakah analogi dari hasil Jessen tetap berlaku benar untuk geometri sferis dan geometri hiperbolik. Dalam kedua geometri tersebut, metode Dehn tetap berlanjut dan memperlihatkan bahwa ketika dua polihedron adalah scissors-congruent, invarian Dehn dari kedua-duanya itu sama. Akan tetapi, masih menjadi masalah yang belum terpecahkan, bahwa apakah pasangan polihedron dengan volume dan invarian Dehn yang sama di kedua geometri tersebut selalu scissors-congruent.^[13]

Masalah ketiga Hilbert sebelumnya pernah diusulkan oleh Władysław Kretkowski sebagai kontes matematika pada tahun 1882 oleh Akademi Seni dan Sains di Kraków. Masalah ini diselesaikan oleh Ludwik Antoni Birkenmajer menggunakan metode yang berbeda dari Dehn. Birkenmajer tidak menerbitkan hasilnya, dan manuskrip asli yang memuat solusi Birkenmajer ditemukan kembali pada tahun-tahun ke depan.^[3]

Catatan

References

Bacaan lebih lanjut

• Benko, D. (2007). "A New Approach to Hilbert's Third Problem". The American Mathematical Monthly. 114 (8): 665–676. doi:10.1080/00029890.2007.11920458. S2CID 7213930.
• Schwartz, Rich (2010). "The Dehn–Sydler Theorem Explained" (PDF).
• Koji, Shiga; Toshikazu Sunada (2005). A Mathematical Gift, III: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra. American Mathematical Society.

Pranala luar

• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Dehn Invariant". MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Dehn invariant", dalam Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4