Dalam matematika, relasi ekuivalensi adalah relasi biner yang bersifat refleksif, simetris dan transitif. Relasi "sama dengan" merupakan contoh dasar dari relasi ekuivalensi, di mana untuk sembarang objek a, b, dan c:a = a, jika a = b maka b = a, dan jika a = b dan b = c maka a = c.
Sumber: Lihat artikel asli di Wikipedia
Dalam matematika, relasi ekuivalensi adalah relasi biner yang bersifat refleksif, simetris dan transitif. Relasi "sama dengan" merupakan contoh dasar dari relasi ekuivalensi, di mana untuk sembarang objek a, b, dan c:
Sebagai akibat dari sifat refleksif, simetris, dan transitif, semua relasi ekuivalensi dapat menghasilkan partisi dari himpunan pendasar menjadi kelas-kelas ekuivalensi yang saling lepas. Dua anggota dari suatu himpunan disebut ekuivalen jika dan hanya jika mereka merupakan anggota kelas ekuivalensi yang sama.
Berbagai notasi digunakan untuk menunjukkan bahwa dua anggota himpunan a dan b bersifat ekuivalen terhadap relasi ekuivalen R; biasanya "a ~ b" dan "a ≡ b", yang digunakan ketika R bersifat tersirat, dan variasi "a ~R b", "a ≡R b", atau "aRb" untuk menyebutkan R secara tersurat. Sifat tidak ekuivalen bisa ditulis "a ≁ b" atau "".
Suatu relasi biner ~ pada himpunan X disebut merupakan relasi ekuivalensi jika dan hanya jika bersifat reflektif, simetris dan transitif. Artinya, untuk semua a, b dan c dalam X:
X bersama dengan relasi ~ disebut sebuah setoid. Kelas ekuivalensi dari di bawah ~, dilambangkan dengan , didefinisikan sebagai .
Anggap himpunan memiliki relasi ekuivalensi . Himpunan dan adalah kelas ekuivalensi dari relasi ini.
Himpunan dari semua kelas ekuivalensi untuk relasi ini adalah . Himpunan ini adalah partisi dari himpunan .
Relasi-relasi berikut adalah contoh lain dari relasi ekuivalensi:
Anggap . Ada beberapa definisi
Sebuah subhimpunan dari , dengan tetap berlaku untuk semua namun tidak pernah ketika , disebut sebagai sebuah kelas ekuivalensi dari . Anggap menyatakan kelas ekuivalensi yang berisi elemen . Semua elemen di yang saling ekuivalen menjadi anggota pada kelas ekuivalensi yang sama.
Himpunan semua kelas ekuivalensi dari , yang dinyatakan sebagai , adalah himpunan hasil bagi dari . Jika adalah ruang topologis, ada cara mudah mengubah menjadi ruang topologis. Lihat ruang hasil bagi untuk detailnya.
Salah satu hasil penting yang menghubungkan relasi ekuivalensi dan partisi adalah:[2][3][4]
Anggap sebagai partisi dari . Pada kedua kasus, sebuah himpunan di adalah kelas ekuivalensi dari . Karena setiap elemen di terletak di tepat satu himpunan di , dan karena setiap himpunan di identik ke kelas ekuivalensi dari , maka setiap elemen di terletak di tepat satu kelas ekuivalensi dari . Dengan demikian, terdapat bijeksi antara himpunan semua relasi ekuivalensi di dengan himpunan semua partisi dari .
| Internasional | |
|---|---|
| Nasional | |
| Lain-lain | |
![{\displaystyle [a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea82bc70a8e322f13a3c4e5b9d5d69e8ef097ad8)
![{\displaystyle [a]=\{b\in X\mid a\sim b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0856d2f9dec321ba9fd7c36e3f57562aff3242)
![{\displaystyle [a]=\{a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa86eaea65a019646094e7054dcf355ea2263db)
![{\displaystyle [b]=[c]=\{b,c\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d76270ea47c67e5b4182741aa5b2984125fbc6e)
![{\displaystyle [a]:=\{x\in X\,|\,a\sim x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f537f69744d4613c888625709b6a5cbd1c8bb0)
![{\displaystyle X/{\mathord {\sim }}:=\{[x]\mid x\in X\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d76a853cfcf0c0040d9d7e2d8e673e1354235ee)
