Permutasi Stirling

Dalam kombinatorik, permutasi Stirling orde k adalah permutasi yang mencakup multiset 1, 1, 2, 2, ..., k, k (yang terdiri dari dua salinan dari setiap nilai yang berkisar dari 1 hingga k). Permutasi ini memiliki sifat tambahan: untuk setiap nilai i yang muncul di dalam permutasi, jumlah di antara dua salinan i lebih besar daripada i. Sebagai contoh, untuk 15 permutasi Stirling orde tiga,

1,1,2,2,3,3;   1,2,2,1,3,3;   2,2,1,1,3,3;

1,1,2,3,3,2;   1,2,2,3,3,1;   2,2,1,3,3,1;

1,1,3,3,2,2;   1,2,3,3,2,1;   2,2,3,3,1,1;

1,3,3,1,2,2;   1,3,3,2,2,1;   2,3,3,2,1,1;

3,3,1,1,2,2;   3,3,1,2,2,1;   3,3,2,2,1,1.

Jumlah permutasi Stirling orde k dirumuskan menggunakan faktorial berganda (2k − 1)!!. Permutasi Stirling diperkenalkan oleh (Gessel & Stanley 1978) yang memperlihatkan bilangan tertentu (yakni jumlah permutasi Stirling dengan jumlah menurun yang tetap) adalah non-negatif. Nama permutasi itu dipilih karena ada kaitan dengan polinomial yang didefinisikan dari bilangan Stirling, yang nyatanya bilangan itu dinamai dari James Stirling, seorang matematikawan asal Skotlandia pada abad ke-18.^[1]

Permutasi Stirling dapat digunakan untuk menggambarkan barisan, yang dapat mengkonstruksi pohon bidang berakar dengan k sisi. Caranya dengan menambahkan simpul daun satu per satu ke pohon tersebut. Karena apabila sisi pohon dinomorkan berdasarkan urutan saat dimasukkan, maka barisan bilangan di dalam tour Euler suatu pohon (yang dibentuk dengan menggandakan sisi pohon dan melintasi tsetiap simpul anak yang diurutkan dari kiri ke kanan) merupakan permutasi Stirling. Sebaliknya, setiap permutasi Stirling menggambarkan suatu barisan konstruksi pohon, dan sisi selanjutnya yang dekat dengan pada simpul akar dari suatu sisi dilabeli i adalah sisi yang pasangan nilai yang serupa mengitari pasangan i nilai dalam permutasi.^[2]

Permutasi Stirling sudah digeneralisasi ke permutasi suatu multiset lebih dari dua salinan setiap nilai.^[3] Beberapa penelitian juga mengkaji jumlah permutasi Stirling yang berupaya menghindari pola-pola tertentu.^[4]

Referensi