Matematika Islam abad pertengahan

Bilangan irasional

Bangsa Yunani menemukan bilangan irasional, namun mereka tidak senang dan hanya mampu membedakan besaran dan bilangan. Dalam pandangan Yunani, besaran terus berubah dan dapat digunakan untuk beberapa hal seperti rentang garis, sedangkan bilangan bersifat diskret. Karena itu, bilangan irasional hanya dapat diselesaikan oleh geometri dan matematika Yunani memang cenderung geometris. Sejumlah matematikawan Islam seperti Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam perlahan menghapus perbedaan antara besaran dan bilangan, sehingga memungkinkan jumlah irasional tampak seperti koefisien dalam persamaan dan solusi bagi persamaan aljabar. Mereka bebas memperlakukan bilangan irasional seperti benda, tetapi mereka tidak mempelajari sifatnya secara teliti.^[7]

Pada abad ke-20, versi Latin Arithmetic karya Al-Khwarizmi yang membahas numeralia India memperkenalkan sistem bilangan posisional desimal kepada dunia Barat.^[8] Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa’l-muqābala karyanya memaparkan solusi sistematis pertama untuk persamaan linier dan kuadrat dalam bahasa Arab. Di Eropa Renaisans, ia dianggap sebagai penemu aljabar, meski sekarang sudah diketahui bahwa tulisannya didasarkan pada sumber-sumber India atau Yunani jauh lebih tua.^[9] Ia merevisi Geography karya Ptolomeus dan menulis tentang astronomi dan astrologi.

Induksi

Penjelasan rinci terawal tentang induksi matematika dapat ditemukan pada bukti Euklides bahwa bilangan prima tidak terhingga (c. 300 SM). Perumusan prinsip induksi yang eksplisit pertama dipaparkan oleh Blaise Pascal dalam Traité du triangle arithmétique (1665).

Di antara rentang waktu tersebut, bukti implisit dengan induksi untuk barisan aritmetika diperkenalkan oleh al-Karaji (c. 1000) dan dikembangkan oleh al-Samaw'al yang memakainya untuk menyelesaikan persoalan khusus teorema binomial dan sifat segitiga Pascal.

Omar Khayyám

Omar Khayyám (c. 1038/48 di Iran – 1123/24)^[10] menulis Treatise on Demonstration of Problems of Algebra yang mencantumkan solusi sistematis untuk persamaan tingkat tiga yang melampaui Aljabar karya Khwārazmī.^[11] Khayyám mendapatkan solusi persamaan ini dengan mencari titik potong dua bidang kerucut. Metode ini sudah dipakai oleh bangsa Yunani,^[12] tetapi mereka tidak menggeneralisasi metode ini untuk semua persamaan berakar positif.^[13]

Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī

Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (? di Tus, Iran – 1213/4) mengembangkan pendekatan baru terhadap penelitian persamaan kubus, suatu pendekatan untuk mencari titik tempat polinomial kubus mencapai nilai maksimumnya. Misal, untuk menyelesaikan persamaan ${\displaystyle \ x^{3}+a=bx}$, dengan a dan b positif, ia menulis bahwa titik maksimum kurva ${\displaystyle \ y=bx-x^{3}}$ ada di ${\displaystyle x=\textstyle {\sqrt {\frac {b}{3}}}}$, dan persamaan tersebut bisa tidak punya solusi, satu solusi, atau dua solusi, tergantung apakah tinggi kurva pada titik tersebut kurang dari, sama dengan, atau lebih besar daripada a. Karya-karyanya yang berhasil diselamatkan tidak memberi petunjuk mengenai cara ia menemukan rumus nilai maksimum kurva tersebut. Berbagai konjektur telah dirumuskan untuk mengetahui bagaimana ia menemukan metode ini.^[14]

Tokoh besar lainnya

• 'Abd al-Hamīd ibn Turk (fl. 830) (kuadratika)
• Thabit ibn Qurra (826–901)
• Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) (bilangan irasional)
• Sind ibn Ali
• Abū Sahl al-Qūhī (c. 940–1000) (pusat gravitasi)
• Abu'l-Hasan al-Uqlidisi (952 – 953) (aritmetika)
• 'Abd al-'Aziz al-Qabisi
• Abū al-Wafā' Būzjānī (940 – 998) (trigonometri bola)
• Al-Karaji (c. 953 – c. 1029) (aljabar, induksi)
• Abu Nasr Mansur (c. 960 – 1036) (trigonometri bola)
• Ibn Tahir al-Baghdadi (c. 980–1037) (bilangan irasional)
• Ibn al-Haytham (ca. 965–1040)
• Abū al-Rayḥān al-Bīrūnī (973 – 1048) (trigonometri)
• Al-Khayyam (1048–1131) (persamaan kubus, postulat paralel)
• Ibn Yaḥyā al-Maghribī al-Samawʾal (c. 1130 – c. 1180)
• Ibn Maḍāʾ (c. 1116 - 1196)
• Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (c. 1150–1215) (kubus)
• Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī (1201–1274) (postulat paralel)
• Jamshīd al-Kāshī (c. 1380–1429) (desimal dan perkiraan konstanta lingkaran)