Pada matematika, logaritma kompleks adalah generalisasi dari logaritma alami dari bilangan kompleks tak nol. Istilah ini merujuk pada salah satu dari penjelasan berikut, yang saling berhubungan:Logaritma kompleks dari bilangan kompleks z tak nol, yang didefinisikan sebagai bilangan kompleks w, yaitu ew = z. Bilangan w diberikan oleh log z. Jika z dituliskan dalam bentuk polar {{{1}}}, dengan r dan θ adalah bilangan riil dan r > 0, maka ln(r) + i θ adalah satu logaritma dari z. Seluruh logaritma kompleks dari z adalah bilangan dalam bentuk ln(r) + i(θ + 2π k) untuk bilangan bulat k. Nilai logaritma tersebut berjarak sama sepanjang garis vertikal pada bidang kompleks.
Fungsi bernilai kompleks log : U → ℂ didefinisikan pada beberapa subhimpunan U dari himpunan ℂ* dari bilangan kompleks tak nol, menyelesaikan elog z untuk semua z pada U. Fungsi logaritma kompleks tersebut beranalogi pada fungsi logaritma riil ln : ℝ > 0 → ℝ , yaitu fungsi invers dari fungsi eksponensial riil yang maka dapat menyelesaikan eln x = x untuk seluruh bilangan riil positif x. Fungsi logaritma kompleks dapat dibentuk dengan formula eksplisit yang melibatkan fungsi bernilai riil, dengan mengintegralkan 1z, atau dengan proses pengontinuan analitik.
Satu cabang logaritma kompleks. Rona warna digunakan untuk menampilkan argumen dari logaritma kompleks. Kecerahan warna digunakan untuk menampilkan modulus dari logaritma kompleks.Bagian riil dari log(z) adalah logaritma alami dari |z|. Grafiknya didapatkan dengan memutar grafik ln(x) sepanjang sumbu z.
Pada matematika, logaritma kompleks adalah generalisasi dari logaritma alami dari bilangan kompleks tak nol. Istilah ini merujuk pada salah satu dari penjelasan berikut, yang saling berhubungan:
Logaritma kompleks dari bilangan kompleks z tak nol, yang didefinisikan sebagai bilangan kompleks w, yaitu ew = z.[1][2] Bilangan w diberikan oleh log z.[1] Jika z dituliskan dalam bentuk polar{{{1}}}'</span><span typeof=\"mw:Entity\" id=\"mwMA\">'</span>z<span typeof=\"mw:Entity\" id=\"mwMQ\">'</span><span typeof=\"mw:Entity\" id=\"mwMg\">'</span>"}]]}' id="mwMw"/>, dengan r dan θ adalah bilangan riil dan r>0, maka ln(r) + iθ adalah satu logaritma dari z. Seluruh logaritma kompleks dari z adalah bilangan dalam bentuk ln(r) + i(θ + 2πk) untuk bilangan bulatk.[1][2] Nilai logaritma tersebut berjarak sama sepanjang garis vertikal pada bidang kompleks.
Fungsi bernilai kompleks log: U→ℂ didefinisikan pada beberapa subhimpunan U dari himpunan ℂ* dari bilangan kompleks tak nol, menyelesaikan elog z untuk semua z pada U. Fungsi logaritma kompleks tersebut beranalogi pada fungsi logaritma riil ln: ℝ>0→ℝ, yaitu fungsi invers dari fungsi eksponensial riil yang maka dapat menyelesaikan eln x = x untuk seluruh bilangan riil positif x. Fungsi logaritma kompleks dapat dibentuk dengan formula eksplisit yang melibatkan fungsi bernilai riil, dengan mengintegralkan 1z, atau dengan proses pengontinuan analitik.
Tidak ada fungsi logaritma kompleks kontinu yang didefinisikan pada seluruh ℂ*. Cara untuk menyelesaikannya, yaitu dengan percabangan, bidang Riemann terkait, dan invers setengah dari fungsi eksponensial kompleks. Nilai pokok mendefinisikan fungsi logaritma khusus Log: ℂ*→ℂ yang kontinu kecuali di sepanjang sumbu riil negatif. Pada bidang kompleks dengan menghilangkan bilangan riil negatif dan 0, ini adalah pengontinuan analitik dari logaritma alami (riil).
Aplikasi
Logaritma kompleks diperlukan untuk mendefinisikan eksponensiasi yang memiliki bilangan kompleks sebagai bilangan pokoknya. Yaitu, jika a dan b adalah bilangan kompleks dengan a≠ 0, kita dapat menggunakan nilai pokok untuk mendefinisikan ab = eb Log a. Operator Log a juga dapat diubah menjadi logaritma lain dari a untuk mendapatkan nilai dari ab, membedakan dari faktor terhadap bentuk e2πinb.[1][3] Ekspresi ab memiliki nilai tunggal jika dan hanya jikab adalah bilangan bulat.[1]
Seperti bilangan riil, bilangan pokok b dan antilogaritma x dapat didefinisikan sebagai bilangan kompleks, sebagai berikut:
blog x = log xlog b
dengan perbedaan, yaitu nilainya bergantung pada percabangan yang dipilih untuk logaritma yang didefinisikan pada b dan x (dengan log b≠ 0). Misalnya, menggunakan nilai pokok memberikan:
ilog e = Log eLog i = 1πi/2 = - 2iπ.
Logaritma pada fungsi holomorfik
Jika f adalah fungsi holomorfik pada subhimpunan U dari ℂ yang terkoneksi, maka cabang dari log f pada U adalah fungsi kontinu g pada U sehingga eg(z) = f(z) untuk semua z di U. Fungsi g tersebut harus berupa fungsi holomorfik dengan g'(z) = f'(z)f(z) untuk semua z di U.
Jika U adalah subhimpunan terbuka yang terkoneksi sederhana dari ℂ, dan f adalah fungsi holomorfik yang tidak hilang di mana pun pada U, maka cabang dari log f didefinisikan pada U dapat dibangun dengan memilih titik awal a pada U, memilih logaritma b dari f(a), dan mendefinisikan
