Jakarta Aktual
Jakarta Aktual

Berita Aktual dan Faktual

Jakarta Aktual
Jakarta Aktual© 2026
Jakarta Aktual
Jakarta Aktual

Berita Aktual dan Faktual

Kembali ke Wiki
Artikel Wikipedia

Kaidah Simpson

Dalam analisis numerik, kaidah Simpson atau aturan Simpson adalah salah satu metode untuk mencari hampiran numerik dari integral tentu. Metode ini berasal dari matematikawan Thomas Simpson, yang berasal dari Leicestershire, Inggris. Kaidah ini dinamai dengan kaidah tong dalam bahasa Jerman dan beberapa bahasa lainnya, lantaran Johannes Kepler berhasil menurunkan rumus ini pada tahun 1615 setelah melihat rumus ini digunakan pada tong anggur. Kaidah Simpson merupakan dua kasus spesial dari rumus Newton-Cotes tertutup.

Integral numerik
Diperbarui 21 April 2026

Sumber: Lihat artikel asli di Wikipedia

Kaidah Simpson
Metode untuk integrasi numerikTemplat:SHORTDESC:Metode untuk integrasi numerik

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Simpson's rule di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)
Kaidah Simpson dapat diturunkan dengan menghampiri integran f ( x ) {\displaystyle f(x)} {\displaystyle f(x)} (biru) dengan interpolasi kuadratik P ( x ) {\displaystyle P(x)} {\displaystyle P(x)} (merah).
Animasi yang menunjukkan bagaimana kaidah Simpson menghampiri fungsi dengan parabola, dan bagaimana proses penurunan galat dapat diraih dengan mengecilkan panjang langkah

Dalam analisis numerik, kaidah Simpson atau aturan Simpson adalah salah satu metode untuk mencari hampiran numerik dari integral tentu. Metode ini berasal dari matematikawan Thomas Simpson (1710 – 1761), yang berasal dari Leicestershire, Inggris. Kaidah ini dinamai dengan kaidah tong dalam bahasa Jerman dan beberapa bahasa lainnya, lantaran Johannes Kepler berhasil menurunkan rumus ini pada tahun 1615 setelah melihat rumus ini digunakan pada tong anggur.[butuh rujukan] Kaidah Simpson merupakan dua kasus spesial dari rumus Newton-Cotes tertutup.

Salah satu penerapan kaidah Simpson adalah dalam arsitektur perkapalan untuk menghitung kapasitas kapal atau sekoci.[1]

Kaidah Simpson 1/3

Salah satu perumusan paling sederhana dari kaidah ini adalah kaidah Simpson 1/3, yaitu

∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 6 ( f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left(f(a)+4\,f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)} {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left(f(a)+4\,f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}

Jika didefinisikan variabel h = b − a 2 {\displaystyle h={\dfrac {b-a}{2}}} {\displaystyle h={\dfrac {b-a}{2}}} yang disebut panjang langkah[butuh rujukan], maka kaidah Simpson 1/3 dapat dinyatakan sebagai

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ( f ( a ) + 4 f ( a + h ) + f ( a + 2 h ) ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left(f(a)+4\,f\left(a+h\right)+f(a+2h)\right)} {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left(f(a)+4\,f\left(a+h\right)+f(a+2h)\right)}

Nilai hampiran di atas akan berubah menjadi eksak apabila fungsi f {\displaystyle f} {\displaystyle f} merupakan polinomial yang berderajat 3 atau kurang.

Penurunan Rumus

Interpolasi Kuadratik

Kaidah Simpson didasarkan pada interpolasi kuadratik yang dikonstruksikan dari titik { ( a , f ( a ) ) , ( a + b 2 , f ( a + b 2 ) ) , ( b , f ( b ) ) } {\displaystyle \left\{(a,\,f(a)),\,\left({\frac {a\,+\,b}{2}},\,f\left({\frac {a\,+\,b}{2}}\right)\right),\,(b,\,f(b))\right\}} {\displaystyle \left\{(a,\,f(a)),\,\left({\frac {a\,+\,b}{2}},\,f\left({\frac {a\,+\,b}{2}}\right)\right),\,(b,\,f(b))\right\}}. Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange, maka diperoleh

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b ( f ( a ) ( x − a + b 2 ) ( x − b ) ( a − a + b 2 ) ( a − b ) + f ( a − a + b 2 ) ( x − a ) ( x − b ) ( a + b 2 − a ) ( a + b 2 − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − a + b 2 ) ( b − a ) ( b − a + b 2 ) ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x\approx \int _{a}^{b}\left(f(a)\,{\dfrac {\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(x-b)}{\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(a-b)}}+f\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)\,{\dfrac {(x-a)(x-b)}{\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-a\right)\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-b\right)}}+f(b)\,{\dfrac {(x-a)\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}{(b-a)\left(b-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}}\right){\text{d}}x} {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x\approx \int _{a}^{b}\left(f(a)\,{\dfrac {\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(x-b)}{\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(a-b)}}+f\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)\,{\dfrac {(x-a)(x-b)}{\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-a\right)\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-b\right)}}+f(b)\,{\dfrac {(x-a)\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}{(b-a)\left(b-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}}\right){\text{d}}x}

Dengan menggunakan teknik integral substitusi, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa

  • ∫ a b ( x − a + b 2 ) ( x − b ) ( a − a + b 2 ) ( a − b ) d x = b − a 6 {\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(x-b)}{\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(a-b)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {b-a}{6}}} {\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(x-b)}{\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(a-b)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {b-a}{6}}}
  • ∫ a b ( x − a ) ( x − b ) ( a + b 2 − a ) ( a + b 2 − b ) d x = 2 3 ( b − a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {(x-a)(x-b)}{\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-a\right)\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-b\right)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {2}{3}}\left(b-a\right)} {\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {(x-a)(x-b)}{\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-a\right)\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-b\right)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {2}{3}}\left(b-a\right)}
  • ∫ a b ( x − a ) ( x − a + b 2 ) ( b − a ) ( b − a + b 2 ) d x = b − a 6 {\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {(x-a)\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}{(b-a)\left(b-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {b-a}{6}}} {\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {(x-a)\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}{(b-a)\left(b-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {b-a}{6}}}

Apabila hasil di atas dituliskan dalam variabel h = b − a 2 {\displaystyle h={\dfrac {b-a}{2}}} {\displaystyle h={\dfrac {b-a}{2}}}, maka didapatkan

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ( f ( a ) + 4 f ( a + h ) + f ( a + 2 h ) ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x\approx {\frac {h}{3}}\left(f(a)+4\,f(a+h)+f(a+2h)\right)} {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x\approx {\frac {h}{3}}\left(f(a)+4\,f(a+h)+f(a+2h)\right)}

Keberadaan faktor 1 3 {\displaystyle {\dfrac {1}{3}}} {\displaystyle {\dfrac {1}{3}}} pada rumus di atas mengakibatkan rumus tersebut disebut sebagai kaidah Simpson 1/3

Koefisien tak tentu

Dengan menebak bahwa

1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≈ C 1 f ( a ) + C 2 f ( a + b 2 ) + C 3 f ( b ) {\displaystyle {\dfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx C_{1}\,f(a)+C_{2}\,f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+C_{3}f(b)} {\displaystyle {\dfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx C_{1}\,f(a)+C_{2}\,f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+C_{3}f(b)}

maka nilai koefisien C 1 , C 2 , C 3 {\displaystyle C_{1},\,C_{2},\,C_{3}} {\displaystyle C_{1},\,C_{2},\,C_{3}} di atas dapat diperoleh dengan mensyaratkan nilai hampiran di ruas kanan menjadi nilai eksak apabila fungsi f ( x ) {\displaystyle f(x)} {\displaystyle f(x)} merupakan fungsi kuadrat. Oleh karena nilai b − a ≠ 0 {\displaystyle b-a\neq 0} {\displaystyle b-a\neq 0}, maka sistem persamaan yang dihasilkan memiliki penyelesaian yang tunggal, yaitu

[ C 1 C 2 C 3 ] = [ 1 / 6 2 / 3 1 / 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1/6\\2/3\\1/6\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1/6\\2/3\\1/6\end{bmatrix}}}

Pembuktian ini pada dasarnya adalah versi tak formal dari pembuktian interpolasi Lagrange, lantaran bentuk umum hampirannya ditebak di awal pembuktian.

Galat

Animasi yang menunjukkan bagaimana hampiran kaidah Simpson akan semakin akurat apabila jumlah partisinya diperbanyak.

Galat dari hampiran integral menggunakan kaidah Simpson adalah

− 1 90 ( b − a 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {1}{90}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi )} {\displaystyle -{\frac {1}{90}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi )}

dengan a < ξ < b {\displaystyle a<\xi <b} {\displaystyle a<\xi <b}.[2]

Perhatikan bahwa galat kaidah Simpson 1/3 sebanding dengan ( b − a ) 5 {\displaystyle (b-a)^{5}} {\displaystyle (b-a)^{5}}. Akan tetapi, penurunan rumus kaidah Simpson menunjukkan bahwa galat kaidah Simpson 1/3 sebenarnya sebanding terhadap ( b − a ) 4 {\displaystyle (b-a)^{4}} {\displaystyle (b-a)^{4}}. Orde tambahan ini diperoleh karena kaidah Simpson menggunakan titik-titik berjarak sama pada domain integrasi [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} {\displaystyle [a,\,b]}.

Oleh karena galatnya sebanding dengan turunan keempat dari fungsi f {\displaystyle f} {\displaystyle f} pada titik x = ξ {\displaystyle x=\xi } {\displaystyle x=\xi }, maka kaidah Simpson 1/3 akan memberikan hasil eksak apabila fungsi f {\displaystyle f} {\displaystyle f} merupakan polinomial berderajat tiga atau kurang, sebab turunan keempat dari fungsi f {\displaystyle f} {\displaystyle f} adalah nol pada setiap titik.

Kaidah Simpson 1/3 Komposit

Jika domain integrasi [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} {\displaystyle [a,\,b]} cukup "kecil" (dalam artian, fungsi yang akan diintegralkan relatif mulus pada interval [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} {\displaystyle [a,\,b]}), maka kaidah Simpson dengan n = 2 {\displaystyle n=2} {\displaystyle n=2} subinterval akan memberikan hampiran yang cukup dekat dengan nilai eksak integralnya. Untuk fungsi yang seperti itu, interpolasi kuadratik seperti yang digunakan dalam aturan Simpson akan memberikan hasil yang baik.

Akan tetapi, terkadang ditemukan kasus dimana fungsi yang akan diintegralkan tidaklah mulus pada interval yang diberikan. Biasanya, ini artinya fungsinya sangat berosilasi atau tidak memiliki turunan pada beberapa titik. Pada kasus-kasus tersebut, kaidah Simpson akan memberikan hasil yang buruk. Salah satu cara untuk menangani masalah ini adalah mempartisi interval [ a , b ] {\displaystyle \left[a,\,b\right]} {\displaystyle \left[a,\,b\right]} menjadi 2 n {\displaystyle 2n} {\displaystyle 2n} subinterval yang sama panjangnya, lalu terapkan kaidah Simpson pada setiap subinterval. Nilai hampiran integralnya diperoleh dengan menjumlahkan hasil hampiran kaidah Simpson pada setiap subinterval. Pendekatan ini disebut sebagai kaidah Simpson 1/3 komposit, atau kaidah Simpson komposit saja.[butuh rujukan]

Misalkan interval [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} {\displaystyle [a,\,b]} dipartisi menjadi 2 n {\displaystyle 2n} {\displaystyle 2n} subinterval dengan panjang yang sama. Apabila variabel h {\displaystyle h} {\displaystyle h} menyatakan panjang dari partisi [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} {\displaystyle [a,\,b]}, maka didapatkan h = b − a 2 n {\displaystyle h={\dfrac {b\,-\,a}{2n}}} {\displaystyle h={\dfrac {b\,-\,a}{2n}}}. Andaikan titik partisinya ialah { x 0 , x 1 , x 2 , … , x 2 n } {\displaystyle \left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{2n}\right\}} {\displaystyle \left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{2n}\right\}}, maka diperoleh persamaan x i − x i − 1 = h {\displaystyle x_{i}-x_{i\,-\,1}=h} {\displaystyle x_{i}-x_{i\,-\,1}=h}. Sehingga, ∫ a b f ( x ) d x = ∫ x 0 x 2 f ( x ) d x + ∫ x 2 x 4 f ( x ) d x + … + ∫ x 2 n − 2 x 2 n f ( x ) d x ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ) + h 3 ( f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + f ( x 4 ) ) + … + h 3 ( f ( x 2 n − 2 ) + 4 f ( x 2 n − 1 ) + f ( x 2 n ) ) ≈ h 3 ∑ i = 1 n ( f ( x 2 i − 2 ) + 4 f ( x 2 i − 1 ) + f ( x 2 i ) ) … ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ) + h 3 ( f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + f ( x 4 ) ) + … + h 3 ( f ( x 2 n − 2 ) + 4 f ( x 2 n − 1 ) + f ( x 2 n ) ) ≈ h 3 ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + f ( x 4 ) + … + f ( x 2 n − 2 ) + 4 f ( x 2 n − 1 ) + f ( x 2 n ) ) ≈ h 3 ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + 2 f ( x 4 ) + … + 2 f ( x 2 n − 2 ) + 4 f ( x 2 n − 1 ) + f ( x 2 n ) ) ≈ h 3 ( f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i − 1 ) + 2 ∑ i = 1 n − 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&=\int _{x_{0}}^{x_{2}}f(x)\,dx+\int _{x_{2}}^{x_{4}}f(x)\,dx+\,\ldots \,+\int _{x_{2n-2}}^{x_{2n}}f(x)\,dx\\\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+f(x_{2})\right)+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2})+4\,f(x_{3})+f(x_{4})\right)+\,\ldots \,+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\sum _{i\,=\,1}^{n}\left(f(x_{2i-2})+4\,f(x_{2i-1})+f(x_{2i})\right)\\&\ldots \\\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+f(x_{2})\right)+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2})+4\,f(x_{3})+f(x_{4})\right)+\,\ldots \,+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{2})+4\,f(x_{3})+f(x_{4})+\,\ldots \,+f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+2\,f(x_{2})+4\,f(x_{3})+2\,f(x_{4})+\,\ldots \,+2\,f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,\sum _{i\,=\,1}^{n}f(x_{2i-1})+2\,\sum _{i\,=\,1}^{n-1}f(x_{2i})+f(x_{2n})\right)\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&=\int _{x_{0}}^{x_{2}}f(x)\,dx+\int _{x_{2}}^{x_{4}}f(x)\,dx+\,\ldots \,+\int _{x_{2n-2}}^{x_{2n}}f(x)\,dx\\\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+f(x_{2})\right)+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2})+4\,f(x_{3})+f(x_{4})\right)+\,\ldots \,+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\sum _{i\,=\,1}^{n}\left(f(x_{2i-2})+4\,f(x_{2i-1})+f(x_{2i})\right)\\&\ldots \\\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+f(x_{2})\right)+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2})+4\,f(x_{3})+f(x_{4})\right)+\,\ldots \,+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{2})+4\,f(x_{3})+f(x_{4})+\,\ldots \,+f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+2\,f(x_{2})+4\,f(x_{3})+2\,f(x_{4})+\,\ldots \,+2\,f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,\sum _{i\,=\,1}^{n}f(x_{2i-1})+2\,\sum _{i\,=\,1}^{n-1}f(x_{2i})+f(x_{2n})\right)\end{aligned}}}

Jika dipilih n = 1 {\displaystyle n=1} {\displaystyle n=1}, maka kaidah Simpson komposit akan menjadi kaidah Simpson 1/3 biasa.

Dalam penerapan nya, sering kali lebih menguntungkan apabila digunakan panjang interval yang berbeda, dan fokus pada lokasi dimana fungsinya kurang "berperilaku baik". Metode ini akan mengarah ke Metode Simpson adaptif.

Contoh implementasi menggunakan Python
import math
import numpy as np

def f(x) :
  return math.cos(x)    #mencari integral fungsi y = cos(x)

def aturan_simpson(a, b, n):
    if n % 2 != 0 :
        print("nilai n haruslah genap")
    else :
        h = (b - a) / n
        x = np.linspace(a, b, n+1)
        y = []
        for i in range(0, n+1) :
            y.append(f(a + i*h))
        return h/3 * (y[0] + 4*np.sum(y[1:-1:2]) + 2*np.sum(y[2:-1:2]) + y[-1])

Galat

Nilai galat yang dihasilkan dari kaidah Simpson komposit ialah

− 1 180 h 4 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi )} {\displaystyle -{\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi )}

dimana a < ξ < b {\displaystyle a<\xi <b} {\displaystyle a<\xi <b} dan h = b − a 2 n {\displaystyle h={\dfrac {b-a}{2n}}} {\displaystyle h={\dfrac {b-a}{2n}}} adalah "panjang langkah".[3][4] Ukuran galatnya diperoleh dari

1 180 h 4 ( b − a ) ⋅ sup ξ ∈ [ a , b ] | f ( 4 ) ( ξ ) | {\displaystyle {\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)\cdot \sup _{\xi \,\in \,[a,\,b]}\left|f^{(4)}(\xi )\right|} {\displaystyle {\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)\cdot \sup _{\xi \,\in \,[a,\,b]}\left|f^{(4)}(\xi )\right|}

Kaidah Simpson 3/8

Kaidah Simpson 3/8, disebut juga Kaidah kedua Simpson, adalah metode lain untuk melakukan pengintegralan numerik yang diajukan oleh Thomas Simpson. Metode ini didasari oleh interpolasi kubik yang dikonstruksikan dari titik { ( a , f ( a ) ) , ( 2 a + b 3 , f ( a + 2 b 3 ) ) , ( b , f ( b ) ) } {\displaystyle \left\{(a,\,f(a)),\,\left({\frac {2a+b}{3}},\,f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)\right),\,(b,\,f(b))\right\}} {\displaystyle \left\{(a,\,f(a)),\,\left({\frac {2a+b}{3}},\,f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)\right),\,(b,\,f(b))\right\}}. Secara matematis, kaidah Simpson 3/8 dapat dinyatakan sebagai berikut: ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 8 ( f ( a ) + 3 f ( 2 a + b 3 ) + 3 f ( a + 2 b 3 ) + f ( b ) ) = 3 8 h ( f ( a ) + 3 f ( a + h ) + 3 f ( a + 2 h ) + f ( a + 3 h ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {b-a}{8}}\left(f(a)+3\,f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3\,f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right)\\&={\frac {3}{8}}h\,\left(f(a)+3\,f\left(a+h\right)+3\,f\left(a+2h\right)+f(a+3h)\right)\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {b-a}{8}}\left(f(a)+3\,f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3\,f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right)\\&={\frac {3}{8}}h\,\left(f(a)+3\,f\left(a+h\right)+3\,f\left(a+2h\right)+f(a+3h)\right)\end{aligned}}} dengan h = ( b − a ) / 3 {\displaystyle h=(b-a)/3} {\displaystyle h=(b-a)/3} sebagai panjang langkah. Keberadaan faktor 3 8 {\displaystyle {\dfrac {3}{8}}} {\displaystyle {\dfrac {3}{8}}} pada rumus di atas mengakibatkan rumus tersebut disebut sebagai kaidah Simpson 3/8

Galat

Galat yang dihasilkan melalui kaidah Simpson 3/8 ialah − 3 80 h 5 f ( 4 ) ( ξ ) = − ( b − a ) 5 6480 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi )} {\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi )} dimana a < ξ < b {\displaystyle a<\xi <b} {\displaystyle a<\xi <b}. Sehingga, kaidah Simpson 3/8 dua kali lebih akurat daripada kaidah Simpson 1/3, tetapi metode ini memerlukan perhitungan nilai fungsi pada titik yang lebih banyak.

Kaidah Simpson 3/8 Komposit

Apabila interval [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} {\displaystyle [a,\,b]} dipartisi menjadi 3 n {\displaystyle 3n} {\displaystyle 3n} subinterval dengan panjang yang sama. Apabila variabel h {\displaystyle h} {\displaystyle h} menyatakan panjang dari partisi [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} {\displaystyle [a,\,b]}, maka didapatkan h = b − a 3 n {\displaystyle h={\dfrac {b\,-\,a}{3n}}} {\displaystyle h={\dfrac {b\,-\,a}{3n}}}. Andaikan titik partisinya ialah { x 0 , x 1 , x 2 , … , x 3 n } {\displaystyle \left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{3n}\right\}} {\displaystyle \left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{3n}\right\}}, maka diperoleh persamaan x i − x i − 1 = h {\displaystyle x_{i}-x_{i\,-\,1}=h} {\displaystyle x_{i}-x_{i\,-\,1}=h}. Sehingga, ∫ a b f ( x ) d x = ∫ x 0 x 3 f ( x ) d x + ∫ x 3 x 6 f ( x ) d x + … + ∫ x 3 n − 3 x 3 n f ( x ) d x ≈ 3 8 h ( f ( x 0 ) + 3 f ( x 1 ) + 3 f ( x 2 ) + f ( x 3 ) ) + 3 8 h ( f ( x 3 ) + 3 f ( x 4 ) + 3 f ( x 5 ) + f ( x 6 ) ) + … + 3 8 h ( f ( x 3 n − 3 ) + 3 f ( x 3 n − 2 ) + 3 f ( x 3 n − 1 ) + f ( x 3 n ) ) ≈ 3 8 h ∑ i = 1 n ( f ( x 3 i − 3 ) + 3 f ( x 3 i − 2 ) + 3 f ( x 3 i − 1 ) + f ( x 3 i ) ) … ∫ a b f ( x ) d x ≈ 3 8 h ( f ( x 0 ) + 3 f ( x 1 ) + 3 f ( x 2 ) + f ( x 3 ) ) + 3 8 h ( f ( x 3 ) + 3 f ( x 4 ) + 3 f ( x 5 ) + f ( x 6 ) ) + … + 3 8 h ( f ( x 3 n − 3 ) + 3 f ( x 3 n − 2 ) + 3 f ( x 3 n − 1 ) + f ( x 3 n ) ) ≈ 3 8 h ( f ( x 0 ) + 3 f ( x 1 ) + 3 f ( x 2 ) + f ( x 3 ) + f ( x 3 ) + 3 f ( x 4 ) + 3 f ( x 5 ) + f ( x 6 ) + … + f ( x 3 n − 3 ) + 3 f ( x 3 n − 2 ) + 3 f ( x 3 n − 1 ) + f ( x 3 n ) ) ≈ 3 8 h ( f ( x 0 ) + 3 f ( x 1 ) + 3 f ( x 2 ) + 2 f ( x 3 ) + 3 f ( x 4 ) + 3 f ( x 5 ) + 2 f ( x 6 ) + … + 2 f ( x 3 n − 3 ) + 3 f ( x 3 n − 2 ) + 3 f ( x 3 n − 1 ) + f ( x 3 n ) ) ≈ 3 8 h ( f ( x 0 ) + 3 ∑ k = 1 ,   3 ∤ k n f ( x k ) + 2 ∑ i = 1 n − 1 f ( x 3 i ) + f ( x 3 n ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&=\int _{x_{0}}^{x_{3}}f(x)\,dx+\int _{x_{3}}^{x_{6}}f(x)\,dx+\,\ldots \,+\int _{x_{3n-3}}^{x_{3n}}f(x)\,dx\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+f(x_{3})\right)+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+f(x_{6})\right)+\,\ldots \,+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\sum _{i\,=\,1}^{n}\left(f(x_{3i-3})+3\,f(x_{3i-2})+3\,f(x_{3i-1})+f(x_{3i})\right)\\&\ldots \\\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+f(x_{3})\right)+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+f(x_{6})\right)+\,\ldots \,+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+f(x_{3})+f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+f(x_{6})+\,\ldots \,+f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+2\,f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+2\,f(x_{6})+\,\ldots \,+2\,f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,\sum _{k\,=\,1,\ 3\,\nmid \,k}^{n}f(x_{k})+2\,\sum _{i\,=\,1}^{n-1}f(x_{3i})+f(x_{3n})\right)\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&=\int _{x_{0}}^{x_{3}}f(x)\,dx+\int _{x_{3}}^{x_{6}}f(x)\,dx+\,\ldots \,+\int _{x_{3n-3}}^{x_{3n}}f(x)\,dx\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+f(x_{3})\right)+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+f(x_{6})\right)+\,\ldots \,+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\sum _{i\,=\,1}^{n}\left(f(x_{3i-3})+3\,f(x_{3i-2})+3\,f(x_{3i-1})+f(x_{3i})\right)\\&\ldots \\\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+f(x_{3})\right)+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+f(x_{6})\right)+\,\ldots \,+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+f(x_{3})+f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+f(x_{6})+\,\ldots \,+f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+2\,f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+2\,f(x_{6})+\,\ldots \,+2\,f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,\sum _{k\,=\,1,\ 3\,\nmid \,k}^{n}f(x_{k})+2\,\sum _{i\,=\,1}^{n-1}f(x_{3i})+f(x_{3n})\right)\end{aligned}}}

Jika dipilih n = 1 {\displaystyle n=1} {\displaystyle n=1}, maka kaidah Simpson 3/8 komposit akan menjadi kaidah Simpson 3/8 biasa.

Lihat juga

  • Rumus Newton–Cotes
  • Kuadratur Gauss

Catatan

  1. ↑ McCall Pate (1918). The naval artificer's manual: (The naval artificer's handbook revised) text, questions and general information for deck. United States. Bureau of Reconstruction and Repair. hlm. 198.
  2. ↑ Atkinson, equation (5.1.15); Süli and Mayers, Theorem 7.2
  3. ↑ Atkinson 1989, hlm. 257–258.
  4. ↑ Süli & Mayers 2003, §7.5.

Referensi

  • (Inggris) Atkinson, Kendall E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis [Pengantar Analisis Numerik] (dalam bahasa Inggris) (Edisi 2nd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2.
  • (Inggris) Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis [Analisis Numerik] (dalam bahasa Inggris) (Edisi 7th). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
  • (Inggris) Cartwright, Kenneth V. (September 2017). "Simpson's Rule Cumulative Integration with MS Excel and Irregularly-spaced Data" [Pengintegralan Kumulatif Kaidah Simpson dengan MS Excel dan Data dengan Karak tak Beraturan] (PDF). Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education (dalam bahasa Inggris). 12 (2): 1–9. Diakses tanggal 18 Desember 2022.
  • (Inggris) Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparison of integration rules in the case of very narrow chromatographic peaks" [Perbandingan kaidah pengintegralan pada kasus puncak kromatografi yang sangat sempit]. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems (dalam bahasa Inggris). 179: 22–30. doi:10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN 0169-7439.
  • (Inggris) Matthews, John H. (2004). "Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration" [Kaidah Simpson 3/8 untuk Pengintegralan Numerik]. Numerical Analysis - Numerical Methods Project (dalam bahasa Inggris). California State University, Fullerton. Diarsipkan dari asli tanggal 4 Desember 2008. Diakses tanggal 11 November 2008.
  • (Inggris) Kaw, Autar; Kalu, Egwu (2022). "Numerical Methods with Applications" [Metode Numerik beserta Penerapan] (dalam bahasa Inggris)..
  • (Inggris) Shklov, N. (Desember 1960). "Simpson's Rule for Unequally Spaced Ordinates" [Kaidah Simpson untuk Ordinat yang berjarak tak sama]. The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 67 (10): 1022–1023. doi:10.2307/2309244. JSTOR 2309244.
  • (Inggris) Süli, Endre; Mayers, David (2003). An Introduction to Numerical Analysis [Pengantar Analisis Numerik] (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.
  • (Inggris) Weisstein, Eric W. "Newton-Cotes Formulas". MathWorld. Diakses tanggal 14 Desember 2022.

Pranala luar

  • (Inggris) Kaidah Simpson untuk Pengintegralan Numerik
  • (Inggris) Penerapan kaidah Simpson - Earthwork Excavation
  • (Inggris)Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Simpson formula", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  • (Inggris)Weisstein, Eric W. "Simpson's Rule". MathWorld.
  • (Inggris) Kaidah Simpson 1/3 untuk pengintegralan pada Holistic Numerical Methods (Metode Numerik Holistik)
  • (Inggris)Penjelasan rinci tentang implementasi komputer dijelaskan oleh Dorai Sitaram dalam Teach Yourself Scheme in Fixnum Days, Appendix C Diarsipkan 2018-03-17 di Wayback Machine.
  • (Inggris) Program dalam bahasa C untuk mengimplementasikan kaidah Simpson Diarsipkan 2011-07-08 di Wayback Machine.

Templat:PlanetMath attribution

Bagikan artikel ini

Share:

Daftar Isi

  1. Kaidah Simpson 1/3
  2. Salah satu perumusan paling sederhana dari kaidah ini adalah kaidah Simpson 1/3, yaitu
  3. Penurunan Rumus
  4. Galat
  5. Kaidah Simpson 1/3 Komposit
  6. Kaidah Simpson 3/8
  7. Galat
  8. Kaidah Simpson 3/8 Komposit
  9. Lihat juga
  10. Catatan
  11. Referensi
  12. Pranala luar

Artikel Terkait

Analisis numerik

bahwa untuk mengintegralkan fungsi dengan eksak kita perlu mengetahui jumlahan trapesium yang banyaknya takhingga. Namun secara numerik kita hanya dapat

Integral

operasi dalam kalkulus

Daftar negara menurut jumlah penduduk

artikel daftar Wikimedia

Jakarta Aktual
Jakarta Aktual© 2026