Himpunan saling lepas

Dalam matematika, dua himpunan dikatakan saling lepas (atau saling pisah atau saling asing) jika keduanya tidak memiliki anggota persekutuan. Sebuah keluarga himpunan adalah saling terlepas pasang demi pasang jika setiap dua himpunan berbeda dalam keluarga tersebut adalah terlepas.

Definisi

Dua himpunan ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ dikatan saling lepas, apabila irisannya adalah himpunan kosong.^[1], yaitu:

${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$.

Misalnya, {1, 2, 3} dan {4, 5, 6} adalah himpunan-himpunan yang lepas, sedangkan {1, 2, 3} dan {3, 4, 5} tidak.

Perumuman

Definisi ini dapat diperluas untuk keluarga himpunan.

Suatu keluarga himpunan berindeks ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ adalah suatu keluarga himpunan saling lepas, apabila anggotanya saling lepas pasang demi pasang, yaitu setiap dua himpunan berbeda dalam keluarga tersebut saling lepas:

${\displaystyle M_{i}\cap M_{j}=\emptyset }$ untuk ${\displaystyle i\neq j}$ dan ${\displaystyle i,j\in I}$.

Dua himpunan dikatan hampir terlepas jika irisan keduanya memiliki ukuran yang "kecil" dalam pengertian tertentu. Misalnya, dua himpunan tak berhingga dikatakan hampir terlepas jika irisan keduanya merupakan himpunan berhingga.^[2]

Dalam topologi, terdapat berbagai gagasan untuk himpunan terpisah dengan persyaratan yang lebih ketat dari keterlepasan. Misalkan, dua himpunan dapat dianggap terpisah jika keduanya memiliki penutupan atau ketetanggaan yang terlepas. Demikian pula, dalam sebuah ruang metrik, himpunan terpisah positif adalah himpunan yang terpisah dengan jarak bukan nol.^[3]

Irisan

Keterlepasan dari dua himpunan, atau dari sebuah keluarga himpunan, dapat dinyatakan dalam irisannya

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika dan hanya jika irisan keduanya ${\displaystyle A\cap B}$ adalah himpunan kosong. Dari sini dapat ditarik kesimpulan bahwa setiap himpunan terlepas dari himpunan kosong, dan hanya himpunan kosong yang terlepas dari dirinya sendiri.^[4]

Sebuah keluarga himpunan F dikatakan saling lepas jika, untuk setiap dua himpunan di dalam keluarga, irisannya adalah kosong. Jika keluarga tersebut memuat lebih dari satu himpunan, hal ini berimplikasi bahwa irisan dari seluruh anggota keluarga ini adalah kosong. Namun, untuk sebuah keluarga dengan satu himpunan, keluarga tersebut juga disebut saling lepas, baik apakah himpunan tersebut kosong, dan boleh memiliki irisan yang tak kosong. Selain itu, sebuah keluarga himpunan dapat memiliki irisan seluruh anggotanya adalah kosong tetapi tidak saling lepas.^[5] Misalnya, keluarga tiga himpunan { {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} memiliki irisan kosong tapi tidak saling terlepas. Keluarga himpunan yang kosong (keluarga tanpa himpunan anggota) adalah saling lepas.^[6]

Referensi