Persegi Weda

Dalam matematika India, persegi Weda adalah variasi dari tabel perkalian 9 × 9 khas, di mana entri pada setiap sel merupakan akar digital dari hasil kali antara judul kolom dan baris — dengan kata lain, setiap sel berisi sisa ketika hasil kali antara judul baris dan kolom dibagi dengan 9 (dengan sisa 0 direpresentasikan oleh angka 9). Berbagai pola dan simetri geometris dapat diamati dalam persegi Weda, beberapa di antaranya dapat ditemukan dalam seni Islam tradisional.

${\displaystyle \circ }$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

Properti aljabar

Persegi Weda dapat dipandang sebagai tabel perkalian dari monoid ${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$ di mana ${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$ adalah himpunan bilangan bulat positif yang dipartisi oleh kelas sisa modulo sembilan. (operator ${\displaystyle \circ }$ mengacu pada "perkalian" abstrak antara elemen-elemen monoid ini).

Jika ${\displaystyle a,b}$ adalah elemen dari ${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$, maka ${\displaystyle a\circ b}$ dapat didefinisikan sebagai ${\displaystyle (a\times b){\bmod {9}}}$, di mana elemen 9 merupakan representasi dari kelas sisa 0, bukan 0 sebagaimana biasanya.

Struktur ini tidak membentuk suatu grup karena tidak setiap elemen bukan nol memiliki elemen invers; misalnya ${\displaystyle 6\circ 3=9}$ tetapi tidak ada ${\displaystyle a\in \{1,\cdots ,9\}}$ sedemikian hingga ${\displaystyle 9\circ a=6.}$

Properti subset

Subset ${\displaystyle \{1,2,4,5,7,8\}}$ membentuk sebuah grup siklik dengan 2 sebagai salah satu pilihan pembangkit — ini merupakan grup unit multiplikatif dalam gelanggang ${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$. Setiap kolom dan baris mencakup keenam angka tersebut — sehingga subset ini membentuk sebuah persegi Latin.

${\displaystyle \circ }$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

Dari dua dimensi ke tiga dimensi

Sebuah persegi Weda didefinisikan sebagai susunan setiap akar digital dalam tabel perkalian tiga dimensi.^[2]

Persegi Weda dengan basis lebih tinggi

Persegi Weda dengan basis bilangan (atau basis radix) yang lebih tinggi dapat dihitung untuk menganalisis pola simetri yang muncul. Menggunakan perhitungan di atas, ${\displaystyle (a\times b){\bmod {({\textrm {basis}}-1)}}}$. Gambar dalam bagian ini diberi kode warna sehingga akar digital 1 ditampilkan gelap dan akar digital (basis − 1) ditampilkan terang.

Lihat pula

• Persegi Latin
• Aritmetika modular
• Monoid

Referensi

Bacaan lanjutan

• Deskins, W.E. (1996), Abstract Algebra, New York: Dover, hlm. 162–167, ISBN 0-486-68888-7
• Pritchard, Chris (2003), The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching, Great Britain: Cambridge University Press, hlm. 119–122, ISBN 0-521-53162-4
• Ghannam, Talal (2012), The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root, CreateSpace Publications, hlm. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1
• Teknomo, Kadi (2005), Digital Root: Vedic Square
• Chia-Yu, Lin (2016), Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space, Recreational Mathematics Magazine, hlm. 9–31, ISSN 2182-1976