Kuantifikasi semesta

Negasi

Negasi dari fungsi berkuantor semesta diperoleh dengan mengubah kuantor semesta menjadi kuantor eksistensial, dan kemudian memberi tanda negasi ${\displaystyle \lnot }$ pada rumus. Dengan kata lain, ${\displaystyle \lnot \forall x\;P(x)}$ ekuivalen dengan ${\displaystyle \exists x\;\lnot P(x)}$.

Operator logika lainnya

Kuantor universal (dan eksistensial) untuk operator logika ∧, ∨, →, dan ↚ adalah sebagai berikut:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}}$

Sebaliknya, untuk penghubung logis ↑, ↓, ↛, dan ←, maka kuantifikasi tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}}$

Aturan inferensi

Aturan inferensi adalah aturan yang membenarkan langkah-langkah logika, dimulai dari hipotesis sampai ke kesimpulan. Beberapa aturan-aturan tersebut memakai kuantor universal.

Instansiasi semesta menyimpulkan bahwa, jika diketahui bahwa fungsi proposisional adalah benar secara universal, maka hal tersebut benar untuk sebarang anggota universal of discourse. Sifat-sifat ini dapat dinyatakan dengan lambang $${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to P(c),}$$dengan ${\displaystyle c}$ menyatakan sebarang anggota universe of discourse.

Universal generalization menyimpulkan bahwa fungsi proposisional adalah benar secara universal, jika benar untuk sebarang anggota universal of discourse. Untuk sebarang ${\displaystyle c}$, dapat dinyatakan dengan lambang$${\displaystyle P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x).}$$Anggota ${\displaystyle c}$ harus sepenuhnya adalah sebarang. Jika tidak, maka logika tersebut berkata lain: jika ${\displaystyle c}$ tidak sebarang, melainkan anggota khusus dari universal of discourse, maka ${\displaystyle P(c)}$ hanya menyiratkan kuantifikasi eksistensial dari fungsi proposisional.

Himpunan kosong

Berdasarkan konvensi, rumus ${\displaystyle \forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)}$ selalu benar untuk ${\displaystyle P(x)}$ manapun.