Analisis riil

Bilangan riil

Bilangan riil atau bilangan real (dinotasikan ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sebagai himpunan bilangan riil) merupakan bilangan yang mencakup bilangan irasional dan bilangan rasional. Bilangan riil dapat kita pandangi sebagai label dalam titik-titik di sepanjang garis horizontal sehingga angka-angkanya dapat mengukur jarak ke kiri dan ke kanan.^[4] Himpunan bilangan riil dapat dituliskan sebagai

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }$.

• 
  Himpunan bilangan riil (${\displaystyle \mathbb {R} }$) terdiri dari bilangan asli (${\displaystyle \mathbb {N} }$), bilangan bulat (${\displaystyle \mathbb {Z} }$), dan bilangan rasional (${\displaystyle \mathbb {Q} }$).
• 
  Ilustrasi bilangan riil dengan titik-titik yang dilabeli angka-angka pada garis horizontal.^[5]

Limit

Limit merupakan konsep yang menjelaskan ketika suatu masukan atau indeks mendekati suatu nilai.^[6] Definisi maupun sifat-sifatnya dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi limit (ε,δ).

Barisan dan deret

Konsep kekonvergenan, sebagai dasar analisis, diperkenalkan melalui limit dan barisan. Beberapa kaidah yang mengatur proses pelimitan dapat diturunkan, dan beberapa limit dapat dihitung, serta deret takhingga, yang merupakan barisan yang khusus juga dipelajari. Deret pangkat digunakan untuk mendefinisikan dengan jelas beberapa fungsi yang penting, seperti fungsi eksponensial dan fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa tipe penting dari subhimpunan bilangan riil, seperi himpunan-himpunan terbuka, himpunan-himpunan tertutup, himpunan-himpunan kompak, dan sifat-sifatnya dijelaskan kemudian.

Kekontinuan

Konsep mengenai kekontinuan dapat dijelaskan menggunakan limit. Penambahan, perkalian, komposisi, hasil kali dan haslil bagi dari fungsi-fungsi yang kontinu adalah fungsi yang kontinu juga, dan teorema nilai tengah yang penting juga terbukti.

Pada pencapaian ini, adalah sangat berguna untuk mempelajari ide dari kekontinuan dan kekonvergenan dengan lebih abstrak, agar kemudian dapat memperhitungkan ruang dari fungsi-fungsi. Ini dapat dilakukan dalam topologi himpunan titik dan menggunakan ruang metrik. Konsep-konsep seperti kekompakan, kelengkapan, ketersambungan, kekontinuan yang seragam, keterpisahan, peta Lipschitz, peta kontraktif, dapat didefinisikan dan diperiksa.

Turunan

Turunan adalah konsep yang menjelaskan bagaimana perilaku fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Ide mengenai turunan mungkin dapat diperkenalkan sebagai suatu proses pelimitan tertentu, dan hukum-hukum turunan yang umum dari kalkulus dapat dijelaskan dengan lebih terperinci.

Integral Riemann

Integral Riemann, dinamai dari Bernhard Riemann, merupakan integral yang didefinisikan dalam bentuk jumlah fungsi Riemann terhadap label dari suatu interval.