Pengurangan (teori model)

Dalam aljabar semesta dan teori model, pengurangan struktur aljabar diperoleh dengan menghilangkan suatu dari operasi dan relasi mengenai struktur tersebut. Kebalikan "pengurangan" adalah "pengembangan"

Definisi

Misalkan ${\displaystyle A}$ menjadi struktur aljabar (dalam arti aljabar semesta) atau sebuah struktur dalam arti teori model, disusun sebagai sebuah himpunan ${\displaystyle X}$ bersama dengan sebuah keluarga berindeks operasi dan relasi ${\displaystyle \varphi _{i}}$ pada himpunan tersebut, dengan himpunan indeks ${\displaystyle I}$. Maka pengurangan ${\displaystyle A}$ didefinisikan oleh sebuah himpunan bagian ${\displaystyle J}$ dari ${\displaystyle I}$ adalah struktur terdiri dari himpunan ${\displaystyle X}$ dan keluarga berindeks-${\displaystyle J}$ mengenai operasi dan relasi yang operasi atau relasi ke-${\displaystyle j}$ untuk ${\displaystyle j\in J}$ adalah operasi atau relasi ke-${\displaystyle j}$ dari ${\displaystyle A}$. Yaitu, pengurangan ini adalah sturktu ${\displaystyle A}$ dengan penghilangan mengenai operasi-operasi tersebut dan relasi ${\displaystyle \varphi _{i}}$ yang mana ${\displaystyle i}$ tidak di dalam ${\displaystyle J}$.

Sebuah struktur ${\displaystyle A}$ adalah sebuah pengembangan dari ${\displaystyle B}$ ketika ${\displaystyle B}$ adalah sebuah pengurangan dari ${\displaystyle A}$. Yakni, pengurangan dan pengembangan adalah kebalikan bersama.

Contoh-contoh

Monoid ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,0)}$ mengenai bilangan bulat terhadap penambahan adalah pengurangan dari grup ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,-,0)}$ mengenai bilangan bulat terhadap penambahan dan negasi, diperoleh denngan menghilangkan negasi. Dengan membandingkannya, monoid ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$ mengenai bilangan asli terhadap penambahan bukanlah pengurangan suatu grup.

Sebaliknya grup ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,-,0)}$ merupakan pengembangan dari monoid ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,0)}$, memperluasnya dengan operasi negasi.

Referensi

• Burris, Stanley N.; H. P. Sankappanavar (1981). A Course in Universal Algebra. Springer. ISBN 3-540-90578-2.
• Hodges, Wilfrid (1993). Model theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-30442-3.