Pemetaan bilinear

Spasi vektor

Misalkan ${\displaystyle V,W}$ dan ${\displaystyle X}$ adalah tiga ruang vektor di atas bidang dasar yang sama ${\displaystyle F}$. Sebuah peta bilinear adalah sebuah fungsi $${\displaystyle B:V\times W\to X}$$sedemikian sehingga untuk semua ${\displaystyle w\in W}$, peta ${\displaystyle B_{w}}$ $${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$adalah peta linear dari ${\displaystyle V}$ ke ${\displaystyle X,}$ dan untuk semua ${\displaystyle v\in V}$, peta ${\displaystyle B_{v}}$ $${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$adalah pemetaan linear dari ${\displaystyle W}$ to ${\displaystyle X.}$ Dengan kata lain, ketika kita menahan entri pertama dari pemetaan bilinear tetap sambil membiarkan entri kedua bervariasi, hasilnya adalah operator linear, dan hal yang sama berlaku ketika kita menahan entri kedua tetap.

Peta semacam itu ${\displaystyle B}$ memenuhi sifat-sifat berikut.

• Untuk setiap ${\displaystyle \lambda \in F}$, ${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).}$
• Peta ${\displaystyle B}$ bersifat aditif pada kedua komponen: jika ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ dan ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W,}$ maka ${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ and ${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}$

Jika ${\displaystyle V=W}$ dan kita memiliki B(v, w) = B(w, v) untuk semua ${\displaystyle v,w\in V,}$ maka kita katakan bahwa B simetris. Jika X adalah bidang dasar F, maka pemetaan tersebut disebut bentuk bilinear, yang telah dipelajari dengan baik (misalnya: produk skalar, produk dalam, dan bentuk kuadrat).